Упр.513 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения $$\left(\frac{3}{4-4a+a^2}+\frac{2}{a^2-4}\right)(a-2)^2-\frac{2a-4}{a+2}$$ не зависит от значения $$a$$.
Упростите выражение:

1) $$\sqrt{9a^{16}}$$;

2) $$\sqrt{0{,}81d^6}$$, если $$d\geq0$$;

3) $$-5\sqrt{4x^2}$$, если $$x\leq0$$;

4) $$-0{,}1\sqrt{100z^{10}}$$, если $$z\geq0$$;

5) $$\sqrt{p^6q^8}$$, если $$p\geq0$$;

6) $$\sqrt{25m^{31}n^{38}}$$, если $$m\leq0$$, $$n\leq0$$;

7) $$ab^2\sqrt{a^4b^{18}c^{22}}$$, если $$b\geq0$$, $$c\leq0$$;

8) $$-\frac{8m^3p^4}{k^2}\sqrt{\frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}}$$, если $$m<0$$, $$k>0$$.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$\left(\frac{3}{4-4a+a^2}+\frac{2}{a^2-4}\right)(a-2)^2-\frac{2a-4}{a+2}$$

Заметим, что
$$4-4a+a^2=(a-2)^2,\qquad a^2-4=(a-2)(a+2).$$
Тогда
$$\left(\frac{3}{(a-2)^2}+\frac{2}{(a-2)(a+2)}\right)(a-2)^2-\frac{2a-4}{a+2}.$$

Приведём дроби в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{3(a+2)+2(a-2)}{(a-2)^2(a+2)}(a-2)^2-\frac{2a-4}{a+2}.$$
Сокращаем на $$(a-2)^2$$:
$$\frac{3(a+2)+2(a-2)}{a+2}-\frac{2a-4}{a+2}.$$

Упростим числитель:
$$\frac{3a+6+2a-4}{a+2}-\frac{2a-4}{a+2} = \frac{5a+2}{a+2}-\frac{2a-4}{a+2}.$$
Тогда
$$\frac{5a+2-(2a-4)}{a+2} = \frac{3a+6}{a+2} = \frac{3(a+2)}{a+2} =3.$$
Значение выражения не зависит от $$a$$.

2) Упростим корни:

$$\sqrt{9a^{16}}=3a^8.$$
при $$d\ge 0$$
$$\sqrt{0{,}81d^6}=0{,}9d^3.$$
при $$x\le 0$$
$$-5\sqrt{4x^2}=-5\cdot 2|x|=10x.$$
при $$z\ge 0$$
$$-0{,}1\sqrt{100z^{10}}=-0{,}1\cdot 10z^5=-z^5.$$
при $$p\ge 0$$
$$\sqrt{p^6q^8}=p^3q^4.$$
при $$m\le 0,\ n\le 0$$
$$\sqrt{25m^{34}n^{38}}=5|m^{17}||n^{19}|=5m^{17}n^{19}.$$
при $$b\ge 0,\ c\le 0$$
$$ab^2\sqrt{a^4b^{18}c^{22}}=ab^2\cdot a^2b^9|c^{11}|=-a^3b^{11}c^{11}.$$
при $$m<0,\ k>0$$
$$\frac{8m^3p^4}{k^2}\sqrt{\frac{625k^{30}p^{40}}{144m^6}} = \frac{8m^3p^4}{k^2}\cdot \frac{25k^{15}p^{20}}{12|m^3|} = \frac{8m^3p^4}{k^2}\cdot \frac{25k^{15}p^{20}}{12(-m^3)}.$$
После сокращения получаем
$$\frac{50p^{24}k^{13}}{3}.$$