Упр.5.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
Докажите, что логическое выражение является тавтологией:
- 1) $$A?A$$;
2) $$?(A??A)$$;
3) $$A??A?B$$;
4) $$A?(B?A)$$;
5) $$(A?B)?(B?A)$$;
6) $$A?(A?B)?B$$;
7) $$?B?(A?B)??A$$;
8) $$((A?B)?(B?C))?(A?C)$$.
$$A \Rightarrow A$$
Импликация ложна только при $$A=1$$ и $$A=0$$ одновременно, что невозможно. Значит, выражение истинно при любых значениях $$A$$.
$$\neg(A \land \neg A)$$
Выражение $$A \land \neg A$$ всегда ложно, так как утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Тогда его отрицание всегда истинно.
$$A \land \neg A \Rightarrow B$$
Левая часть $$A \land \neg A$$ всегда ложна, а импликация с ложным основанием всегда истинна.
$$A \Rightarrow (B \Rightarrow A)$$
Если $$A$$ истинно, то $$B \Rightarrow A$$ истинно при любом $$B$$. Если $$A$$ ложно, то вся импликация тоже истинна. Следовательно, выражение — тавтология.
$$\left(A \Rightarrow B\right) \lor \left(B \Rightarrow A\right)$$
Если $$A \Rightarrow B$$ ложно, то обязательно $$A=1$$ и $$B=0$$. Тогда $$B \Rightarrow A$$ истинно. Значит, хотя бы одна из импликаций всегда истинна.
$$A \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow B$$
Если $$A \land (A \Rightarrow B)$$ истинно, то истинно и $$A$$, и $$A \Rightarrow B$$, а значит, истинно $$B$$. Следовательно, вся импликация всегда истинна.
$$\neg B \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow \neg A$$
Пусть левая часть истинна. Тогда $$\neg B$$ истинно, то есть $$B=0$$, и одновременно истинно $$A \Rightarrow B$$. При $$B=0$$ импликация $$A \Rightarrow B$$ может быть истинной только при $$A=0$$. Значит, $$\neg A$$ истинно.
$$\bigl((A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)\bigr) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$$
Если истинны $$A \Rightarrow B$$ и $$B \Rightarrow C$$, то из истинности $$A$$ следует истинность $$B$$, а из истинности $$B$$ — истинность $$C$$. Значит, из $$A$$ следует $$C$$, то есть истинно $$A \Rightarrow C$$. Следовательно, всё выражение — тавтология.
Ответ
Все данные логические выражения являются тавтологиями.
