Упр.5.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) A?A;
2) ?(A??A);
3) A??A?B;
4) A?(B?A);
5) (A?B)?(B?A);
6) A?(A?B)?B;
7) ?B?(A?B)??A;
8) ((A?B)?(B?C))?(A?C).

1. $$A \Rightarrow A$$

   Импликация ложна только при $$A=1$$ и $$A=0$$ одновременно, что невозможно. Значит, выражение истинно при любых значениях $$A$$.

2. $$\neg(A \land \neg A)$$

   Выражение $$A \land \neg A$$ всегда ложно, так как утверждение не может быть одновременно истинным и ложным. Тогда его отрицание всегда истинно.

3. $$A \land \neg A \Rightarrow B$$

   Левая часть $$A \land \neg A$$ всегда ложна, а импликация с ложным основанием всегда истинна.

4. $$A \Rightarrow (B \Rightarrow A)$$

   Если $$A$$ истинно, то $$B \Rightarrow A$$ истинно при любом $$B$$. Если $$A$$ ложно, то вся импликация тоже истинна. Следовательно, выражение — тавтология.

5. $$\left(A \Rightarrow B\right) \lor \left(B \Rightarrow A\right)$$

   Если $$A \Rightarrow B$$ ложно, то обязательно $$A=1$$ и $$B=0$$. Тогда $$B \Rightarrow A$$ истинно. Значит, хотя бы одна из импликаций всегда истинна.

6. $$A \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow B$$

   Если $$A \land (A \Rightarrow B)$$ истинно, то истинно и $$A$$, и $$A \Rightarrow B$$, а значит, истинно $$B$$. Следовательно, вся импликация всегда истинна.

7. $$\neg B \land (A \Rightarrow B) \Rightarrow \neg A$$

   Пусть левая часть истинна. Тогда $$\neg B$$ истинно, то есть $$B=0$$, и одновременно истинно $$A \Rightarrow B$$. При $$B=0$$ импликация $$A \Rightarrow B$$ может быть истинной только при $$A=0$$. Значит, $$\neg A$$ истинно.

8. $$\bigl((A \Rightarrow B) \land (B \Rightarrow C)\bigr) \Rightarrow (A \Rightarrow C)$$

   Если истинны $$A \Rightarrow B$$ и $$B \Rightarrow C$$, то из истинности $$A$$ следует истинность $$B$$, а из истинности $$B$$ — истинность $$C$$. Значит, из $$A$$ следует $$C$$, то есть истинно $$A \Rightarrow C$$. Следовательно, всё выражение — тавтология.

Ответ

Все данные логические выражения являются тавтологиями.