Упр.494 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Попарно различные числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ удовлетворяют условию $$a^2(b+c)=b^2(c+a)$$. Докажите, что $$a^2(b+c)=c^2(a+b)$$.
2. Известно, что $$a>0$$, $$c<0$$. Сравните с нулём значение выражения: 1) $$a^3c^4$$; 2) $$ac^5$$.

Из условия имеем:

$$a^2(b+c)=b^2(c+a).$$

Раскроем скобки и перенесём всё в одну сторону:

$$a^2b+a^2c=b^2c+ab^2$$

$$a^2b-ab^2+a^2c-b^2c=0$$

$$ab(a-b)+c(a^2-b^2)=0$$

$$ab(a-b)+c(a-b)(a+b)=0$$

$$(a-b)(ab+ac+bc)=0.$$

Так как числа $$a$$, $$b$$, $$c$$ попарно различны, то $$a-b\ne 0.$$ Значит,

$$ab+ac+bc=0.$$

Теперь рассмотрим выражение:

$$a^2(b+c)=c^2(a+b).$$

Проверим его аналогично:

$$a^2b+a^2c=ac^2+bc^2$$

$$a^2b-bc^2+a^2c-ac^2=0$$

$$b(a^2-c^2)+ac(a-c)=0$$

$$b(a-c)(a+c)+ac(a-c)=0$$

$$(a-c)(ab+bc+ac)=0.$$

Так как $$a-c\ne 0$$, то снова получаем

$$ab+bc+ac=0,$$

следовательно,

$$a^2(b+c)=c^2(a+b).$$

Теперь сравним с нулём данные выражения. Так как $$a>0,\quad c<0,$$ то

$$ac<0.$$

1) $$a^3c^4=a\cdot a^2\cdot c^4>0,$$ так как $$a>0$$, а $$c^4>0$$.

2) $$ac^5=ac\cdot c^4<0,$$ так как $$ac<0$$, а $$c^4>0$$.

Ответ

$$a^2(b+c)=c^2(a+b).$$

1) $$a^3c^4>0.$$

2) $$ac^5<0.$$