Упр.487 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. В саду растёт более $$80$$, но менее $$100$$ деревьев. Каждое третье дерево — яблоня, а каждое восьмое — груша. Сколько деревьев растёт в саду?
2. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения $$\left(\frac{3}{4-4a+a^2}+\frac{2}{a^2-4}\right)(a-2)^2-\frac{2a-4}{a+2}$$ не зависит от значения $$a$$.

Пусть в саду растёт $$x$$ деревьев. По условию

$$80<x<100.$$

Число деревьев должно делиться и на $$3$$, и на $$8$$, значит, оно кратно $$\operatorname{lcm}(3,8)=24$$.

Ищем число, кратное $$24$$ и лежащее между $$80$$ и $$100$$. Это число $$96$$.

Проверим выражение

$$\left(\frac{3}{4-4a+a^2}+\frac{2}{a^2-4}\right)(a-2)^2-\frac{2a-4}{a+2}.$$

Заметим, что

$$4-4a+a^2=(a-2)^2,\qquad a^2-4=(a-2)(a+2),\qquad 2a-4=2(a-2).$$

Тогда при допустимых значениях $$a$$, то есть при $$a\ne 2$$ и $$a\ne -2$$, получаем:

$$\left(\frac{3}{(a-2)^2}+\frac{2}{(a-2)(a+2)}\right)(a-2)^2-\frac{2(a-2)}{a+2}$$

$$=3+\frac{2(a-2)}{a+2}-\frac{2(a-2)}{a+2}=3.$$

Значение выражения не зависит от $$a$$ и равно $$3$$.

Ответ

$$96$$ деревьев; $$3$$.