Упр.484 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения функции: $$f(x)=\frac{5}{x^2-4x}+\frac{7}{x^2-16}$$.
2. Верно ли, что:
   1) сумма любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
   2) произведение любых двух иррациональных чисел является числом иррациональным;
   3) произведение любого иррационального числа и любого рационального числа является числом иррациональным?

Найдём область определения функции

$$f(x)=\frac{5}{x^2-4x}+\frac{7}{x^2-16}.$$

Знаменатели не должны обращаться в нуль:

$$x^2-4x\ne 0,$$

$$x^2-16\ne 0.$$

Разложим на множители:

$$x(x-4)\ne 0,$$

$$(x-4)(x+4)\ne 0.$$

Отсюда

$$x\ne 0,\quad x\ne 4,\quad x\ne -4.$$

Значит, область определения функции:

$$(-\infty;-4)\cup(-4;0)\cup(0;4)\cup(4;+\infty).$$

Проверим утверждения.

1. Сумма любых двух иррациональных чисел не всегда иррациональна. Например,

   $$\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0.$$

   Число $$0$$ рациональное, значит, утверждение неверно.

2. Произведение любых двух иррациональных чисел не всегда иррационально. Например,

   $$\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}=5.$$

   Число $$5$$ рациональное, значит, утверждение неверно.

3. Произведение любого иррационального числа и любого рационального числа не всегда иррационально. Например,

   $$\sqrt{5}\cdot 0=0.$$

   Число $$0$$ рациональное, значит, утверждение неверно.

Ответ

$$D(f)=(-\infty;-4)\cup(-4;0)\cup(0;4)\cup(4;+\infty).$$

1) Неверно; 2) неверно; 3) неверно.