Упр.431 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Решите уравнение:

   1) $$\sqrt{x}=-x$$;

   2) $$\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=0$$;

   3) $$\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x-1}=0$$;

   4) $$\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-4}=0$$;

   5) $$(x-1)\sqrt{x+1}=0$$;

   6) $$(x+1)\sqrt{x-1}=0$$.

2. Равны ли множества $$A$$ и $$B$$, если:

   1) $$A=\{1,2\},\ B=\{2,1\}$$;

   2) $$A=\{(1,0)\},\ B=\{(0,1)\}$$;

   3) $$A=\{1\},\ B=\{\{1\}\}$$?

1. $$\sqrt{x}=-x$$
   
   Возведём обе части в квадрат:
   $$x=x^2$$
   
   С учётом области допустимых значений $$x\ge 0$$ получаем:
   $$x(x-1)=0$$
   
   $$x=0 \text{ или } x=1$$
   
   Проверка: при $$x=1$$ имеем $$\sqrt{1}=1 \ne -1$$, значит не подходит.
   
   Ответ: $$x=0$$
2. $$\sqrt{x}+\sqrt{x-1}=0$$
   
   Левая часть — сумма неотрицательных чисел, поэтому она равна нулю только тогда, когда оба слагаемых равны нулю:
   $$\sqrt{x}=0,\quad \sqrt{x-1}=0$$
   
   Отсюда
   $$x=0,\quad x=1$$
   
   Одновременно эти равенства выполниться не могут. Следовательно, корней нет.
   
   Ответ: корней нет
3. $$\sqrt{x^2-x}+\sqrt{x-1}=0$$
   
   Сумма неотрицательных чисел равна нулю только при равенстве каждого из них нулю:
   $$\sqrt{x^2-x}=0,\quad \sqrt{x-1}=0$$
   
   Тогда
   $$x^2-x=0,\quad x-1=0$$
   
   Из второго уравнения получаем $$x=1$$. Проверим:
   $$1^2-1=0$$
   
   Значит, $$x=1$$.
   
   Ответ: $$x=1$$
4. $$\sqrt{x^2+2x}+\sqrt{x^2-4}=0$$
   
   Тогда
   $$\sqrt{x^2+2x}=0,\quad \sqrt{x^2-4}=0$$
   
   Получаем систему:
   $$\begin{cases} x^2+2x=0,\\ x^2-4=0 \end{cases}$$
   
   Из первого уравнения:
   $$x(x+2)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=-2$$
   
   Из второго:
   $$x=\pm 2$$
   
   Общий корень — $$x=-2$$.
   
   Ответ: $$x=-2$$
5. $$(x-1)\sqrt{x+1}=0$$
   
   Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:
   $$\begin{cases} x-1=0, \\ \sqrt{x+1}=0 \end{cases}$$
   
   Тогда
   $$x=1$$
   или
   $$x+1=0 \Rightarrow x=-1$$
   
   Оба значения удовлетворяют области определения $$x\ge -1$$.
   
   Ответ: $$x=-1,\ 1$$
6. $$(x+1)\sqrt{x-1}=0$$
   
   Тогда
   $$\begin{cases} x+1=0, \\ \sqrt{x-1}=0 \end{cases}$$
   
   Получаем
   $$x=-1$$
   или
   $$x-1=0 \Rightarrow x=1$$
   
   Но при $$x=-1$$ корень $$\sqrt{x-1}$$ не определён, так как $$x\ge 1$$. Значит, это значение не подходит.
   
   Ответ: $$x=1$$

Ответ

1. $$x=0$$
2. корней нет
3. $$x=1$$
4. $$x=-2$$
5. $$x=-1,\ 1$$
6. $$x=1$$

1) Да, $$A=B$$.

2) Нет, $$A\ne B$$.

3) Нет, $$A\ne B$$.