Упр.419 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. $$\sqrt{x}$$
   
   Подкоренное выражение неотрицательно:
   $$x \ge 0.$$
2. $$\sqrt{-x}$$
   
   $$-x \ge 0 \Rightarrow x \le 0.$$
3. $$\sqrt{x^2}$$
   
   Так как $$x^2 \ge 0$$ при любом $$x$$, выражение имеет смысл при любом $$x$$.
4. $$\sqrt{-x^2}$$
   
   $$-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2 \le 0 \Rightarrow x=0.$$
5. $$\sqrt{x-8}$$
   
   $$x-8 \ge 0 \Rightarrow x \ge 8.$$
6. $$\sqrt{8-x}$$
   
   $$8-x \ge 0 \Rightarrow x \le 8.$$
7. $$\sqrt{x^2+8}$$
   
   Так как $$x^2+8>0$$ при любом $$x$$, выражение имеет смысл при любом $$x$$.
8. $$\sqrt{(x-8)^2}$$
   
   Квадрат любого числа неотрицателен, значит выражение имеет смысл при любом $$x$$.
9. $$\frac{1}{\sqrt{(x-8)^2}}$$
   
   $$\sqrt{(x-8)^2}=|x-8|,$$
   поэтому знаменатель не должен быть равен нулю:
   $$|x-8| \ne 0 \Rightarrow x \ne 8.$$
10. $$\frac{1}{\sqrt{x}-3}$$
    
    $$x \ge 0,$$
    и кроме того
    $$\sqrt{x}-3 \ne 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ne 3 \Rightarrow x \ne 9.$$
11. $$\frac{1}{\sqrt{x}+3}$$
    
    $$x \ge 0.$$
    При этом $$\sqrt{x}+3>0$$, значит дополнительных ограничений нет.
12. $$\sqrt{x}\cdot\sqrt{-x}$$
    
    Нужно одновременно:
    $$x \ge 0 \quad \text{и} \quad -x \ge 0.$$
    Отсюда
    $$x=0.$$
13. $$\frac{1}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{-x}}$$
    
    Нужно одновременно:
    $$x \ge 0,\quad -x \ge 0,$$
    то есть $$x=0,$$ но тогда знаменатель равен нулю. Следовательно, выражение не имеет смысла ни при каких $$x$$.
14. $$\sqrt{|x|}$$
    
    Так как $$|x| \ge 0$$ при любом $$x$$, выражение имеет смысл при любом $$x$$.
15. $$\sqrt{-|x|}$$
    
    $$-|x| \ge 0 \Rightarrow |x| \le 0 \Rightarrow x=0,$$
    но тогда подкоренное выражение равно $$0$$, значит выражение имеет смысл только при $$x=0$$.
16. $$\frac{1}{\sqrt{|x|}}$$
    
    Нужно, чтобы
    $$|x| \ge 0$$
    и знаменатель не был равен нулю:
    $$\sqrt{|x|}\ne 0 \Rightarrow |x|\ne 0 \Rightarrow x\ne 0.$$
    Значит, $$x$$ — любое число, кроме нуля.

Упростим выражение:

$$\left(\frac{a}{a^2-25}+\frac{5}{5-a}+\frac{1}{a+5}\right):\left(\frac{28-a^2}{a+5}+a-5\right).$$

Разложим на множители:
$$a^2-25=(a-5)(a+5), \qquad 5-a=-(a-5).$$
Тогда
$$\frac{a}{a^2-25}+\frac{5}{5-a}+\frac{1}{a+5} = \frac{a}{(a-5)(a+5)}-\frac{5}{a-5}+\frac{1}{a+5}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{a-5(a+5)+a-5}{(a-5)(a+5)} = \frac{-3a-30}{(a-5)(a+5)} = \frac{-3(a+10)}{(a-5)(a+5)}.$$

Вторая скобка:
$$\frac{28-a^2}{a+5}+a-5 = \frac{28-a^2+(a-5)(a+5)}{a+5} = \frac{28-a^2+a^2-25}{a+5} = \frac{3}{a+5}.$$

Теперь делим:
$$\frac{-3(a+10)}{(a-5)(a+5)}:\frac{3}{a+5} = \frac{-3(a+10)}{(a-5)(a+5)}\cdot\frac{a+5}{3} = -\frac{a+10}{a-5} = \frac{a+10}{5-a}.$$

Область допустимых значений:
$$a\ne -5,\quad a\ne 5.$$

Ответ

1) $$x \ge 0$$; 2) $$x \le 0$$; 3) $$x$$ — любое число; 4) $$x=0$$; 5) $$x \ge 8$$; 6) $$x \le 8$$; 7) $$x$$ — любое число; 8) $$x$$ — любое число; 9) $$x \ne 8$$; 10) $$x \ge 0,\ x \ne 9$$; 11) $$x \ge 0$$; 12) $$x=0$$; 13) не имеет смысла ни при каких $$x$$; 14) $$x$$ — любое число; 15) $$x=0$$; 16) $$x \ne 0$$.

$$\frac{a+10}{5-a}, \qquad a\ne -5,\ a\ne 5.$$