Упр.410 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Вычислите значение выражения:
   
   1) $$\sqrt{3+\sqrt{36}}$$;
   
   2) $$\sqrt{72-\sqrt{64}}$$;
   
   3) $$\sqrt{16}\cdot\sqrt{225}$$;
   
   4) $$\frac{1}{3}\cdot\sqrt{900}+0{,}2\sqrt{1600}$$;
   
   5) $$(2\sqrt{6})^2-3(\sqrt{21})^2$$;
   
   6) $$\sqrt{10^2-4\cdot3^2}$$.
2. Какое из данных выражений имеет смысл при любом значении $$x$$:
   
   1) $$\sqrt{x^2+8x+15}$$;
   
   2) $$\sqrt{x^2-10x+27}$$?

1. $$\sqrt{3+\sqrt{36}}=\sqrt{3+6}=\sqrt{9}=3.$$
2. $$\sqrt{72-\sqrt{64}}=\sqrt{72-8}=\sqrt{64}=8.$$
3. $$\sqrt{16}\cdot\sqrt{225}=4\cdot 15=60.$$
4. $$\frac13\sqrt{900}+0{,}2\sqrt{1600}=\frac13\cdot 30+0{,}2\cdot 40=10+8=18.$$
5. $$(2\sqrt6)^2-3(\sqrt{21})^2=4\cdot 6-3\cdot 21=24-63=-39.$$
6. $$\sqrt{10^2-4\cdot 3^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$

Теперь рассмотрим выражения с переменной.

1. $$\sqrt{x^2+8x+15}=\sqrt{x^2+8x+16-1}=\sqrt{(x+4)^2-1}.$$

   Это выражение не имеет смысла при любом значении $$x$$, так как подкоренное выражение может быть отрицательным.

2. $$\sqrt{x^2-10x+27}=\sqrt{x^2-10x+25+2}=\sqrt{(x-5)^2+2}.$$

   Так как $$\left(x-5\right)^2\ge 0$$ и $$2>0$$, то подкоренное выражение всегда положительно. Значит, это выражение имеет смысл при всех значениях $$x$$.

Ответ

1) $$3$$; 2) $$8$$; 3) $$60$$; 4) $$18$$; 5) $$-39$$; 6) $$8$$.

При любом значении $$x$$ имеет смысл выражение $$\sqrt{x^2-10x+27}$$.