Упр.4.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 4.9. Докажите, что любое подмножество счётного множества или конечно, или счётно. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 4-9 827

Подробный ответ

Так как множество счётное, его элементы можно пронумеровать. Тогда элементы любого его подмножества тоже можно расположить в порядке возрастания номеров:

$$x_1<x_2<x_3<x_4<\dots$$

Возможны два случая:

подмножество содержит конечное число элементов;
подмножество содержит бесконечно много элементов, и тогда их можно пронумеровать, то есть подмножество будет счётным.

Следовательно, любое подмножество счётного множества либо конечно, либо счётно.