Упр.4.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что любое подмножество счётного множества или конечно, или счётно.

Так как множество счётное, его элементы можно пронумеровать. Тогда элементы любого его подмножества тоже можно расположить в порядке возрастания номеров:

$$x_1<x_2<x_3<x_4<\dots$$

Возможны два случая:

• подмножество содержит конечное число элементов;
• подмножество содержит бесконечно много элементов, и тогда их можно пронумеровать, то есть подмножество будет счётным.

Следовательно, любое подмножество счётного множества либо конечно, либо счётно.

Ответ

Любое подмножество счётного множества либо конечно, либо счётно.