Упр.4.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 4.5. Докажите, что множество чисел вида 1/n (n ? N) счётно.

Рассмотрим множество чисел вида $$\frac{1}{n}, \quad n \in \mathbb{N}.$$

Его элементы можно перечислить в последовательности:

$$\frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{5},\ \ldots,\ \frac{1}{n},\ \ldots$$

Каждому натуральному числу $$n$$ поставлено в соответствие ровно одно число $$\frac{1}{n}$$, и наоборот, каждому элементу этого множества соответствует свой номер $$n$$.

Значит, элементы множества можно занумеровать натуральными числами, то есть это множество счётно.

Ответ

Множество чисел вида $$\frac{1}{n}, \ n \in \mathbb{N},$$ счётно.