Упр.4.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x^2 — 10x + 27; 2) 9x^2 + 12x + 7; 3) 2x^2 — x + 1.

1. $$x^2-10x+27=x^2-10x+25+2=(x-5)^2+2.$$
   Так как $$ (x-5)^2 \ge 0 $$ при всех $$x$$, то
   $$x^2-10x+27 \ge 2 > 0.$$
   Наименьшее значение равно $$2$$ при $$x=5$$.

2. $$9x^2+12x+7=9x^2+12x+4+3=(3x+2)^2+3.$$
   Так как $$ (3x+2)^2 \ge 0 $$ при всех $$x$$, то
   $$9x^2+12x+7 \ge 3 > 0.$$
   Наименьшее значение равно $$3$$ при $$x=-\frac{2}{3}$$.

3. $$2x^2-x+1=\frac14 x^2+\frac14 x^2-x+1=\left(\frac12 x-1\right)^2+\frac34 x^2.$$
   Оба слагаемых неотрицательны при всех $$x$$, значит
   $$2x^2-x+1 \ge 0.$$
   Равенство нулю возможно только одновременно при
   $$\frac12 x-1=0 \quad \text{и} \quad x=0,$$
   что невозможно. Поэтому выражение принимает положительные значения при всех $$x$$.
   Минимум найдём по вершине параболы:
   $$x=\frac{-(-1)}{2\cdot 2}=\frac14.$$
   Тогда
   $$2\left(\frac14\right)^2-\frac14+1=\frac18-\frac14+1=\frac78.$$
   Значит, наименьшее значение равно $$\frac78$$ при $$x=\frac14$$.

Ответ

1) $$2$$ при $$x=5$$; 2) $$3$$ при $$x=-\frac23$$; 3) $$\frac78$$ при $$x=\frac14$$.