Упр.4.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)
- На плоскости задано некоторое множество непересекающихся окружностей, радиусы которых равны $$1$$. Докажите, что это множество конечно или счётно.
Введём на плоскости систему координат так, чтобы все окружности имели целочисленные координаты хотя бы одной точки. Это возможно, так как радиус каждой окружности равен $$1$$.
У каждой окружности найдётся точка с целыми координатами. Так как окружности не пересекаются, то разные окружности не могут содержать одну и ту же точку с целыми координатами.
Значит, каждой окружности можно поставить в соответствие свою, отличную от других, точку с целыми координатами. Тогда множество данных окружностей можно рассматривать как подмножество множества всех точек с целыми координатами.
А множество точек с целыми координатами конечно не является, но счётно. Следовательно, и данное множество непересекающихся окружностей либо конечно, либо счётно.
Ответ
Данное множество окружностей конечно или счётно.
