Упр.4.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 4.16. На плоскости задано некоторое множество непересекающихся окружностей, радиусы которых равны 1. Докажите, что это множество конечно или счётно. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 4-16 827

Введём на плоскости систему координат так, чтобы все окружности имели целочисленные координаты хотя бы одной точки. Это возможно, так как радиус каждой окружности равен $$1$$.

У каждой окружности найдётся точка с целыми координатами. Так как окружности не пересекаются, то разные окружности не могут содержать одну и ту же точку с целыми координатами.

Значит, каждой окружности можно поставить в соответствие свою, отличную от других, точку с целыми координатами. Тогда множество данных окружностей можно рассматривать как подмножество множества всех точек с целыми координатами.

А множество точек с целыми координатами конечно не является, но счётно. Следовательно, и данное множество непересекающихся окружностей либо конечно, либо счётно.

Ответ

Данное множество окружностей конечно или счётно.