Упр.4.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что множество точек $$(x; y)$$ координатной плоскости таких, что числа $$x$$ и $$y$$ — целые, является счётным.

Каждой точке с целыми координатами $$\left(x;y\right)$$ можно поставить в соответствие пару целых чисел $$\left(x,y\right)$$.

Множество всех целых чисел счётно, значит можно перечислить все возможные значения $$x$$ и все возможные значения $$y$$. Тогда все пары целых чисел можно занумеровать, например, обходя точки по «квадратам» вокруг начала координат:

$$(0,0),\ (1,0),\ (1,1),\ (0,1),\ (-1,1),\ (-1,0),\ (-1,-1),\ (0,-1),\ (1,-1),\ldots$$

Так можно перечислить все точки с целыми координатами без пропусков. Следовательно, множество всех таких точек является счётным.

Ответ

Множество точек с целыми координатами счётно.