Упр.4.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 4.12. На координатной прямой отметили точки 0(0), A(1), В(5). Докажите, что: 1) множество точек отрезка OA равномощно множеству точек отрезка ОВ; 2) множество точек отрезка ОA с выколотой точкой О равномощно множеству точек луча AВ. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 merzlyak_polyakov8 4-12 827

Подробный ответ

1) Пусть точке $$M(x_0)$$ отрезка $$OA$$ соответствует точка $$N(5x_0)$$ отрезка $$OB$$. Тогда каждому значению $$x_0 \in [0;1]$$ соответствует единственное значение $$5x_0 \in [0;5]$$, и наоборот, каждой точке отрезка $$OB$$ соответствует единственная точка отрезка $$OA$$. Значит, множества точек отрезков $$OA$$ и $$OB$$ равномощны.

2) Каждой точке $$M(x_0)$$ отрезка $$OA$$, кроме точки $$O$$, то есть при $$x_0 \in (0;1]$$, можно поставить в соответствие точку $$N\!\left(\frac{1}{x_0}\right)$$ луча $$AB$$. При этом разным точкам $$M$$ соответствуют разные точки $$N$$, и наоборот. Следовательно, множество точек отрезка $$OA$$ с выколотой точкой $$O$$ равномощно множеству точек луча $$AB$$.