Упр.4.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим множество отрезков, которые принадлежат координатной прямой, попарно не пересекаются и длина каждого из них не меньше $$1$$. Докажите, что это множество является или конечным, или счётным.

Подробный ответ

Каждый отрезок длины не меньше $$1$$ содержит хотя бы одну точку с целой координатой. Действительно, на любом отрезке длины $$1$$ и больше обязательно найдётся целое число.

Так как данные отрезки попарно не пересекаются, то никакая целая точка не может принадлежать двум разным отрезкам. Значит, каждому отрезку можно поставить в соответствие хотя бы одну свою целую точку.

Получаем взаимно однозначное соответствие между множеством отрезков и некоторым множеством целых чисел. А множество целых чисел либо конечно, либо счётно.

Следовательно, и данное множество отрезков является либо конечным, либо счётным.