Упр.372 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: $$\frac{(a+b)^2}{a-b}:\left(\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b}\right)=a+b$$.
2. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна: 1) $$25\ \text{см}^2$$; 2) $$1600\ \text{дм}^2$$; 3) $$0{,}04\ \text{м}^2$$.

Преобразуем левую часть тождества:

$$\frac{(a+b)^2}{a-b}:\left(\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b}\right)$$

Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$, то

$$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}.$$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}-\frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b)+a^2+b^2-a(a-b)}{(a-b)(a+b)}.$$

Упростим числитель:

$$a(a+b)+a^2+b^2-a(a-b)=a^2+ab+a^2+b^2-a^2+ab=a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.$$

Тогда

$$\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)}=\frac{a+b}{a-b}.$$

Теперь вся левая часть равна

$$\frac{(a+b)^2}{a-b}:\frac{a+b}{a-b} = \frac{(a+b)^2}{a-b}\cdot\frac{a-b}{a+b} = a+b.$$

Тождество доказано.

Пусть $$a$$ — сторона квадрата, тогда $$S=a^2$$.

1. $$a^2=25$$, значит $$a=5$$ см.

2. $$a^2=1600$$, значит $$a=40$$ дм.

3. $$a^2=0{,}04$$, значит $$a=0{,}2$$ м.

Ответ

$$a+b=a+b.$$

1) $$5$$ см; 2) $$40$$ дм; 3) $$0{,}2$$ м.