Упр.368 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Задание учебника 2025 года. Постройте график уравнения: 1) $$\frac{y-x^2}{(x-1)^2+(y-1)^2}=0$$; 2) $$\frac{y-x^2}{y-x}=0$$.
2. Задание учебника 2019 года. Докажите тождество: $$\frac{(a+b)^2}{a-b}:\left(\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b}\right)=a+b$$.

1) Рассмотрим уравнение

$$\frac{y-x^2}{(x-1)^2+(y-1)^2}=0.$$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\begin{cases} y-x^2=0,\\ (x-1)^2+(y-1)^2\ne 0. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем $$y=x^2.$$

Знаменатель обращается в нуль только при $$x=1,\ y=1,$$ поэтому эту точку нужно исключить.

Итак, график — парабола $$y=x^2$$ без точки $$\left(1;1\right).$$

2) Рассмотрим уравнение

$$\frac{y-x^2}{y-x}=0.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$\begin{cases} y-x^2=0,\\ y-x\ne 0. \end{cases}$$

Следовательно, $$y=x^2,$$ но $$y\ne x.$$

Найдём точки пересечения параболы $$y=x^2$$ с прямой $$y=x$$:

$$x^2=x,$$

$$x(x-1)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=1.$$

Значит, нужно исключить точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;1\right).$$

Итак, график — парабола $$y=x^2$$ без точек $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;1\right).$$

Докажем тождество:

$$\frac{(a+b)^2}{a-b}:\left(\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b}\right)=a+b.$$

Преобразуем выражение в скобках, учитывая, что $$a^2-b^2=(a-b)(a+b):$$

$$\frac{a}{a-b}+\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}-\frac{a}{a+b} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)}+\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}-\frac{a(a-b)}{(a+b)(a-b)}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a(a+b)+a^2+b^2-a(a-b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab+a^2+b^2-a^2+ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+2ab+b^2}{(a-b)(a+b)}.$$

Тогда

$$\frac{(a+b)^2}{a-b}:\frac{(a+b)^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2}{a-b}\cdot\frac{(a-b)(a+b)}{(a+b)^2} = a+b.$$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$y=x^2,$$ $$\left(1;1\right)$$ не входит в график.

2) $$y=x^2,$$ $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;1\right)$$ не входят в график.

3) $$a+b.$$