Упр.364 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = {-6/x, если x =< -1; x^2, если x > -1.
1) Найдите f(-12), f(-1), f(-0,9), f(3), f(0).
2) Постройте график данной функции.
3) Определите, при каких значениях а прямая у = а будет иметь с графиком данной функции ровно две общие точки. Постройте график уравнения:
1) (y-x2)/((x-1)2+(y-1)2) = 0;
2) (y-x2)/(y-x) = 0.

Подробный ответ

Функция задана так:

$$ f(x)= \begin{cases} -\dfrac{6}{x}, & x\le -1,\\ x^2, & x>-1. \end{cases} $$

1) Найдём значения функции:

$$ f(-12)=-\dfrac{6}{-12}=\dfrac12=0{,}5, $$

$$ f(-1)=-\dfrac{6}{-1}=6, $$

$$ f(-0{,}9)=(-0{,}9)^2=0{,}81, $$

$$ f(3)=3^2=9, $$

$$ f(0)=0^2=0. $$

2) График состоит из двух частей:

при $$x\le -1$$ — ветвь гиперболы $$y=-\dfrac{6}{x}$$;
при $$x>-1$$ — парабола $$y=x^2$$.

Точка $$(-1,6)$$ принадлежит первой части графика, а точка $$(-1,1)$$ не входит во вторую часть, так как при $$x=-1$$ вторая формула не используется.

3) Прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно две общие точки, если она пересекает обе части графика по одной точке. Для параболы $$y=x^2$$ при $$x>-1$$ это происходит при $$0<a\le 1$$, а для гиперболы $$y=-\dfrac{6}{x}$$ при $$x\le -1$$ — при $$a\ge 6$$. Общие значения, при которых получается ровно две точки пересечения, отсутствуют, поэтому нужно рассмотреть отдельно случаи касания и пересечения по одной точке на каждой части графика. В итоге ровно две общие точки получаются при $$1<a\le 6$$.

4) Решим уравнения.

1. $$\dfrac{y-x^2}{(x-1)^2+(y-1)^2}=0$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:

$$ \begin{cases} y-x^2=0,\\ (x-1)^2+(y-1)^2\ne 0. \end{cases} $$

Отсюда

$$ y=x^2,\qquad (x,y)\ne(1,1). $$

Значит, это график параболы $$y=x^2$$ с выколотой точкой $$ (1,1) $$.

2. $$\dfrac{y-x^2}{y-x}=0$$

Аналогично:

$$ \begin{cases} y-x^2=0,\\ y-x\ne 0. \end{cases} $$

То есть

$$ y=x^2,\qquad y\ne x. $$