Упр.362 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

f(x) = {2x + 3, если x =< -1; x^2, если -1 < x < 2; 4, если x >= 2.
1) Найдите f(-4), f(-0,3), f(1,9), f(3), f(-1), f(2).
2) Постройте график данной функции.
3) Определите, при каких значениях а прямая у = а будет иметь с графиком данной функции ровно две общие точки. Постройте график функции y = x3/x.

Подробный ответ

1) Вычислим значения функции по заданным промежуткам:

$$ f(x)= \begin{cases} 2x+3, & x\le -1,\\ x^2, & -1<x<2,\\ 4, & x\ge 2. \end{cases} $$

$$ f(-4)=2\cdot(-4)+3=-8+3=-5 $$
$$ f(-0{,}3)=(-0{,}3)^2=0{,}09 $$
$$ f(1{,}9)=(1{,}9)^2=3{,}61 $$
$$ f(3)=4 $$
$$ f(-1)=2\cdot(-1)+3=-2+3=1 $$
$$ f(2)=4 $$

2) График функции состоит из трёх частей:

прямая $$y=2x+3$$ при $$x\le -1$$;
часть параболы $$y=x^2$$ при $$-1<x<2$$;
горизонтальный луч $$y=4$$ при $$x\ge 2$$.

Точки $$(-1;1)$$ и $$ (2;4) $$ принадлежат графику, а на промежутке $$-1<x<2$$ строится ветвь параболы $$y=x^2$$.

3) Прямая $$y=a$$ имеет с графиком ровно две общие точки, если она пересекает график в двух местах.

Для части $$y=2x+3$$ и параболы $$y=x^2$$ это происходит при:

$$ a=0 \quad \text{и} \quad a=1. $$

При $$a=0$$ прямая пересекает параболу в точке $$ (0;0) $$ и прямую $$y=2x+3$$ в одной точке; при $$a=1$$ — в точке $$(-1;1)$$ и ещё в точке параболы $$ (1;1) $$. Для остальных значений $$a$$ число общих точек не равно двум.

График функции $$y=\dfrac{x^3}{x}$$ при $$x\ne 0$$ совпадает с графиком функции

$$ y=x^2,\quad x\ne 0. $$

Это парабола $$y=x^2$$ с выколотой точкой $$ (0;0) $$.