Упр.361 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)
Функция $$f$$ задана следующим способом:
$$f(x)= \begin{cases} 4, & \text{если } x\leq -2;\\ x^2, & \text{если } -2
1) Найдите $$f(-3),\ f(-2),\ f(-1),\ f(1),\ f(3),\ f(0{,}5)$$.
2) Постройте график данной функции.
3) Определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y=a$$ будет иметь с графиком данной функции ровно две общие точки.
Постройте график функции:
1) $$y=\frac{x^3+x^2}{x+1}$$;
2) $$y=\frac{x^4-4x^2}{x^2-4}$$.
1) По заданию функции:
$$f(x)= \begin{cases} 4, & x\le -2,\\ x^2, & -2<x<1,\\ 2x-1, & x\ge 1. \end{cases}$$
$$f(-3)=4,\quad f(-2)=4,\quad f(-1)=(-1)^2=1,$$
$$f(1)=2\cdot 1-1=1,\quad f(3)=2\cdot 3-1=5,\quad f(0{,}5)=(0{,}5)^2=0{,}25.$$
2) График состоит из трёх частей:
- прямая $$y=4$$ при $$x\le -2$$;
- ветвь параболы $$y=x^2$$ при $$-2<x<1$$;
- прямая $$y=2x-1$$ при $$x\ge 1$$.
Точки $$(-2;4)$$ и $$(1;1)$$ входят в график, так как в этих точках заданы соответствующие куски функции.
3) Прямая $$y=a$$ пересекает график ровно в двух точках, если она:
- не пересекает горизонтальный участок $$y=4$$;
- пересекает параболу $$y=x^2$$ в двух точках.
Это возможно при
$$0<a<4.$$
4) Упростим выражения:
$$y=\frac{x^3+x^2}{x+1}=\frac{x^2(x+1)}{x+1}=x^2,\quad x\ne -1.$$
Значит, график — парабола $$y=x^2$$ с выколотой точкой $$(-1;1)$$.
$$y=\frac{x^4-4x^2}{x^2-4}=\frac{x^2(x^2-4)}{x^2-4}=x^2,\quad x\ne \pm 2.$$
Значит, график — парабола $$y=x^2$$ с выколотыми точками $$(-2;4)$$ и $$(2;4)$$.
Ответ
1) $$f(-3)=4,\ f(-2)=4,\ f(-1)=1,\ f(1)=1,\ f(3)=5,\ f(0{,}5)=0{,}25.$$
2) График состоит из частей $$y=4$$ при $$x\le -2$$, $$y=x^2$$ при $$-2<x<1$$ и $$y=2x-1$$ при $$x\ge 1$$.
3) $$0<a<4.$$
4) 1) $$y=x^2,\ x\ne -1$$; 2) $$y=x^2,\ x\ne \pm 2$$.
