Упр.352 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции:
   1) $$y=\frac{9x-18}{x^2-2x}$$;
   2) $$y=\frac{5x^2-5}{x-x^3}$$.
   
   Пользуясь построенным графиком, определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y=kx$$ будет иметь с графиком данной функции единственную общую точку.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций $$y=x^2$$ и $$y=4x-4$$. Постройте графики данных функций и отметьте найденные точки.

1. 1) Упростим выражение:

   $$y=\frac{9x-18}{x^2-2x}=\frac{9(x-2)}{x(x-2)}=\frac{9}{x}, \quad x\ne 0,\ x\ne 2.$$

   Значит, график функции совпадает с графиком $$y=\frac{9}{x}$$, но точка $$x=2$$ исключена.

   Для построения возьмём несколько точек:

   $$x=1 \Rightarrow y=9,\qquad x=3 \Rightarrow y=3.$$

   Прямая $$y=kx$$ имеет с графиком единственную общую точку, если проходит через выколотую точку $$\left(2;\,4{,}5\right)$$. Тогда

   $$4{,}5=2k \Rightarrow k=\frac{4{,}5}{2}=2{,}25.$$

2. 2) Упростим выражение:

   $$y=\frac{5x^2-5}{x-x^3}=\frac{5(x^2-1)}{x(1-x^2)}=\frac{5(x^2-1)}{-x(x^2-1)}=-\frac{5}{x},$$

   $$x\ne 0,\ x\ne 1,\ x\ne -1.$$

   Значит, график функции совпадает с графиком $$y=-\frac{5}{x}$$, но точки $$x=\pm1$$ исключены.

   Для построения можно взять точки:

   $$x=1 \Rightarrow y=-5,\qquad x=-5 \Rightarrow y=1.$$

   Чтобы прямая $$y=kx$$ имела с графиком единственную общую точку, она должна проходить через одну из выколотых точек $$(-1;\,5)$$ или $$(1;\,-5)$$. Но тогда прямая $$y=-5x$$ проходит через обе эти точки, и общих точек будет две.

   Следовательно, таких значений $$k$$ не существует.

3. Найдём точки пересечения графиков $$y=x^2$$ и $$y=4x-4$$:

   $$x^2=4x-4$$

   $$x^2-4x+4=0$$

   $$(x-2)^2=0$$

   $$x=2,\qquad y=2^2=4.$$

   Точка пересечения одна: $$(2;\,4)$$.

Ответ

1) $$k=2{,}25$$.

2) Таких значений $$k$$ не существует.

3) $$(2;\,4)$$.