Упр.344 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

система
xy = -8,
2x+3y = 6.
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных, содержащихся в выражении, его значение не зависит от значений a и b.
(a2-b2)/(a+3b) * ((a+b)/(a2-2ab+b2) + b/(a2-b2)) — b/(a-b).

1) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} xy=-8,\\ 2x+3y=6. \end{cases} $$

Выразим из первого уравнения $$y=-\dfrac{8}{x}$$, а из второго $$y=2-\dfrac{2}{3}x$$.

Графики этих функций — гипербола и прямая. Они пересекаются в двух точках, значит система имеет два решения.

2) Упростим выражение

$$ \frac{a^2-b^2}{a+3b}\left(\frac{a+b}{a^2-2ab+b^2}+\frac{b}{a^2-b^2}\right)-\frac{b}{a-b}. $$

Разложим на множители:

$$ a^2-2ab+b^2=(a-b)^2,\qquad a^2-b^2=(a-b)(a+b). $$

Тогда

$$ \frac{a^2-b^2}{a+3b}\left(\frac{a+b}{(a-b)^2}+\frac{b}{(a-b)(a+b)}\right)-\frac{b}{a-b}. $$

Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:

$$ \frac{a+b}{(a-b)^2}+\frac{b}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+b)^2+b(a-b)}{(a-b)^2(a+b)}. $$

Числитель:

$$ (a+b)^2+b(a-b)=a^2+2ab+b^2+ab-b^2=a^2+3ab=a(a+3b). $$

Тогда

$$ \frac{a^2-b^2}{a+3b}\cdot \frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}-\frac{b}{a-b}. $$

Сократим:

$$ \frac{(a-b)(a+b)}{a+3b}\cdot \frac{a(a+3b)}{(a-b)^2(a+b)}-\frac{b}{a-b} = \frac{a}{a-b}-\frac{b}{a-b}. $$

Получаем

$$ \frac{a-b}{a-b}=1. $$

Значение выражения не зависит от $$a$$ и $$b$$.

Ответ

1) Два решения.
2) $$1$$.