Упр.343 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

1) система
xy = -1,
x+3y = 0;
2) система
xy = -1,
x-3y = 0;
3) система
xy = 6,
3x-2y = 6. Постройте график функции y = (10×2-40)/(x3-4x).

1) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} xy=-1,\\ x+3y=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $$x=-3y$$, значит

$$ (-3y)\cdot y=-1 \Rightarrow -3y^2=-1 \Rightarrow y^2=\frac13. $$

Тогда

$$ y=\pm \frac{1}{\sqrt3}, \qquad x=-3y. $$

Следовательно, система имеет 2 решения.

2) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} xy=-1,\\ x-3y=0. \end{cases} $$

Из второго уравнения получаем $$x=3y$$, значит

$$ 3y\cdot y=-1 \Rightarrow 3y^2=-1. $$

Это невозможно, так как $$3y^2\ge 0$$ при любых действительных $$y$$. Значит, система не имеет решений.

3) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} xy=6,\\ 3x-2y=6. \end{cases} $$

Из первого уравнения $$y=\frac{6}{x}$$, а из второго

$$ 2y=3x-6 \Rightarrow y=\frac{3}{2}x-3. $$

Точки пересечения графиков найдём подстановкой:

$$ x\left(\frac{3}{2}x-3\right)=6 $$

$$ \frac{3}{2}x^2-3x-6=0 $$

$$ x^2-2x-4=0. $$

Тогда

$$ x=\frac{2\pm\sqrt{4+16}}{2}=1\pm\sqrt5. $$

Соответствующие значения $$y$$ тоже существуют, значит система имеет 2 решения.

Преобразуем функцию:

$$ y=\frac{10x^2-40}{x^3-4x} =\frac{10(x^2-4)}{x(x^2-4)} =\frac{10}{x}, \qquad x\ne 0,\; x\ne \pm 2. $$

Значит, график — это гипербола $$y=\frac{10}{x}$$, но с выколотыми точками, где выражение не определено: $$x=0,\pm 2$$.

На графике нужно отметить точки разрыва: $$\left(2,5\right)$$ и $$\left(-2,-5\right)$$, а также асимптоты $$x=0$$ и $$y=0$$.

Ответ

1) 2 решения; 2) решений нет; 3) 2 решения; $$y=\frac{10}{x},\ x\ne 0,\pm 2$$.