Упр.342 ГДЗ Мерзляк Полонский 8 класс (Алгебра)

Задача

Решите графически систему уравнений $$\begin{cases}xy=5,\\y-x=4.\end{cases}$$
Постройте график функции:
1) $$y=\frac{9x-18}{x^2-2x}$$;
2) $$y=\frac{5x^2-5}{x-x^3}$$.

Подробный ответ

1) Решим систему графически:

$$\begin{cases} xy=5,\\ y-x=4 \end{cases}$$
Из второго уравнения получаем:
$$y=x+4.$$
Подставим в первое:
$$x(x+4)=5$$
$$x^2+4x-5=0$$
$$(x+5)(x-1)=0$$
Отсюда:
$$x=-5 \text{ или } x=1.$$
Найдём соответствующие значения $$y$$:
$$y=-5+4=-1,$$
$$y=1+4=5.$$
Точки пересечения графиков: $$(-5;\,-1)$$ и $$(1;\,5)$$.

2) Построим график функции

$$y=\frac{9x-18}{x^2-2x}.$$
Преобразуем выражение:
$$y=\frac{9(x-2)}{x(x-2)}=\frac{9}{x}, \quad x\ne 0,\ x\ne 2.$$
Значит, это график функции $$y=\frac{9}{x}$$ с выколотой точкой при $$x=2$$, то есть точка $$\left(2;\frac{9}{2}\right)$$ не принадлежит графику.

3) Построим график функции

$$y=\frac{5x^2-5}{x-x^3}.$$
Вынесем множители:
$$y=\frac{5(x^2-1)}{x(1-x^2)}=\frac{5(x^2-1)}{-x(x^2-1)}=-\frac{5}{x},$$
при этом
$$x\ne 0,\ x\ne 1,\ x\ne -1.$$
Значит, это график функции $$y=-\frac{5}{x}$$ с выколотыми точками при $$x=1$$ и $$x=-1$$, то есть точки $$\left(1;\,-5\right)$$ и $$\left(-1;\,5\right)$$ не входят в график.