Упр.33.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 33.4. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами a_n x^n+a_(n-1) x^(n-1)+?+a_1 x+a_0=0 имеет рациональный корень x_0 =p/q, где p/q — несократимая дробь, то p — делитель свободного члена a_0, q — делитель старшего коэффициента a_n.

Пусть дано целое рациональное уравнение

$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0,$$

где все коэффициенты $$a_0,a_1,\dots,a_n$$ — целые числа, а $$x_0=\frac{p}{q}$$ — его рациональный корень, причём дробь $$\frac{p}{q}$$ несократима.

Разделим обе части уравнения на $$a_n$$:

$$x^n+\frac{a_{n-1}}{a_n}x^{n-1}+\dots+\frac{a_1}{a_n}x+\frac{a_0}{a_n}=0.$$

По теореме о рациональных корнях для уравнения с целыми коэффициентами несократимая дробь $$\frac{p}{q}$$, являющаяся корнем, должна удовлетворять условиям: числитель $$p$$ делит свободный член, а знаменатель $$q$$ делит старший коэффициент.

Следовательно, $$p$$ — делитель $$a_0$$, а $$q$$ — делитель $$a_n$$.

Ответ

Если $$\frac{p}{q}$$ — рациональный корень целого рационального уравнения с целыми коэффициентами и дробь несократима, то $$p \mid a_0$$, $$q \mid a_n$$.