Упр.33.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 33.3. Докажите, что если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами x^n+a_(n-1) x^(n-1)+?+a_1 x+a_0=0 имеет рациональный корень, то оно является целым числом.

Рассмотрим целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами

$$x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0.$$

Пусть $$x_0$$ — его рациональный корень. Тогда по теореме о рациональных корнях для многочлена с целыми коэффициентами любой рациональный корень является делителем свободного члена $$a_0$$.

Так как $$a_0$$ — целое число, то любой его делитель тоже является целым числом. Следовательно, $$x_0$$ — целое число.

Что и требовалось доказать.

Ответ

Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень является целым числом.