Упр.33.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x^3+x^2-4x+2=0;
2) x^3-x^2-8x+12=0;
3) x^3+4x^2+5x+2=0;
4) x^4+4x^3-2x^2-4x+1=0;
5) x^4+2x^3-11x^2+4x+4=0;
6) 3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=0.

1. $$x^3+x^2-4x+2=0$$
   Проверим целые корни. Подходит $$x=1$$:
   $$1^3+1^2-4\cdot 1+2=0.$$
   Тогда
   $$x^3+x^2-4x+2=(x-1)(x^2+2x-2).$$
   Решаем квадратное уравнение:
   $$x^2+2x-2=0,$$
   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12,$$
   $$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}.$$

2. $$x^3-x^2-8x+12=0$$
   Проверим корень $$x=2$$:
   $$2^3-2^2-8\cdot 2+12=0.$$
   Тогда
   $$x^3-x^2-8x+12=(x-2)(x^2+x-6).$$
   Разложим квадратный трёхчлен:
   $$x^2+x-6=(x+3)(x-2).$$
   Следовательно,
   $$x^3-x^2-8x+12=(x-2)^2(x+3).$$
   Корни:
   $$x=2,\; x=-3.$$

3. $$x^3+4x^2+5x+2=0$$
   Проверим корень $$x=-1$$:
   $$(-1)^3+4(-1)^2+5(-1)+2=0.$$
   Тогда
   $$x^3+4x^2+5x+2=(x+1)(x^2+3x+2).$$
   Разложим:
   $$x^2+3x+2=(x+1)(x+2).$$
   Значит,
   $$x^3+4x^2+5x+2=(x+1)^2(x+2).$$
   Корни:
   $$x=-1,\; x=-2.$$

4. $$x^4+4x^3-2x^2-4x+1=0$$
   Проверим корень $$x=-1$$:
   $$(-1)^4+4(-1)^3-2(-1)^2-4(-1)+1=0.$$
   Тогда
   $$x^4+4x^3-2x^2-4x+1=(x+1)(x^3+3x^2-5x+1).$$
   Проверим корень $$x=1$$ для кубического множителя:
   $$1^3+3\cdot 1^2-5\cdot 1+1=0.$$
   Значит,
   $$x^3+3x^2-5x+1=(x-1)(x^2+4x-1).$$
   Получаем
   $$x^4+4x^3-2x^2-4x+1=(x+1)(x-1)(x^2+4x-1).$$
   Решаем квадратное уравнение:
   $$x^2+4x-1=0,$$
   $$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-1)=20,$$
   $$x=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2}=-2\pm\sqrt{5}.$$
   Корни:
   $$x=-1,\; x=1,\; x=-2-\sqrt{5},\; x=-2+\sqrt{5}.$$

5. $$x^4+2x^3-11x^2+4x+4=0$$
   Проверим корень $$x=1$$:
   $$1^4+2\cdot 1^3-11\cdot 1^2+4\cdot 1+4=0.$$
   Тогда
   $$x^4+2x^3-11x^2+4x+4=(x-1)(x^3+3x^2-8x-4).$$
   Проверим корень $$x=2$$:
   $$2^3+3\cdot 2^2-8\cdot 2-4=0.$$
   Значит,
   $$x^3+3x^2-8x-4=(x-2)(x^2+5x+2).$$
   Получаем
   $$x^4+2x^3-11x^2+4x+4=(x-1)(x-2)(x^2+5x+2).$$
   Решаем квадратное уравнение:
   $$x^2+5x+2=0,$$
   $$D=5^2-4\cdot 1\cdot 2=17,$$
   $$x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}.$$
   Корни:
   $$x=1,\; x=2,\; x=\frac{-5-\sqrt{17}}{2},\; x=\frac{-5+\sqrt{17}}{2}.$$

6. $$3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=0$$
   Проверим корень $$x=1$$:
   $$3+5-9-9+10=0.$$
   Тогда
   $$3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=(x-1)(3x^3+8x^2-x-10).$$
   Проверим корень $$x=1$$ для кубического множителя:
   $$3+8-1-10=0.$$
   Значит,
   $$3x^3+8x^2-x-10=(x-1)(3x^2+11x+10).$$
   Получаем
   $$3x^4+5x^3-9x^2-9x+10=(x-1)^2(3x^2+11x+10).$$
   Решаем квадратное уравнение:
   $$3x^2+11x+10=0,$$
   $$D=11^2-4\cdot 3\cdot 10=1,$$
   $$x=\frac{-11\pm 1}{6}.$$
   Отсюда
   $$x=-2,\; x=-\frac{5}{3}.$$
   Корни:
   $$x=1,\; x=-2,\; x=-\frac{5}{3}.$$

Ответ

1) $$x=1,\; x=-1\pm\sqrt{3}$$
2) $$x=-3,\; x=2$$
3) $$x=-2,\; x=-1$$
4) $$x=-1,\; x=1,\; x=-2\pm\sqrt{5}$$
5) $$x=1,\; x=2,\; x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{2}$$
6) $$x=1,\; x=-2,\; x=-\frac{5}{3}$$