Упр.33.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) x^3+9x^2+23x+15=0;
2) 2x^3-x^2-5x-2=0;
3) 3x^4+5x^3-x^2-5x-2=0;
4) 5x^4+9x^3-2x^2-4x-8=0;
5) 2x^4-3x^3-7x^2+6x+8=0;
6) x^5+8x^4+24x^3+35x^2+28x+12=0.

1. $$x^3+9x^2+23x+15=0$$
   Проверим целые корни. Подходит $$x=-1$$:
   $$(-1)^3+9(-1)^2+23(-1)+15=0.$$
   Тогда
   $$x^3+9x^2+23x+15=(x+1)(x^2+8x+15).$$
   Решаем квадратное уравнение:
   $$x^2+8x+15=0,$$
   $$x^2+8x+15=(x+3)(x+5).$$
   Значит,
   $$x=-1,\,-3,\,-5.$$

2. $$2x^3-x^2-5x-2=0$$
   Проверим $$x=-1$$:
   $$2(-1)^3-(-1)^2-5(-1)-2=0.$$
   Тогда
   $$2x^3-x^2-5x-2=(x+1)(2x^2-3x-2).$$
   Разложим квадратный трёхчлен:
   $$2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2).$$
   Следовательно,
   $$x=-1,\,-\frac12,\,2.$$

3. $$3x^4+5x^3-x^2-5x-2=0$$
   Проверим $$x=-1$$:
   $$3(-1)^4+5(-1)^3-(-1)^2-5(-1)-2=0.$$
   Тогда
   $$3x^4+5x^3-x^2-5x-2=(x+1)(3x^3+2x^2-3x-2).$$
   Проверим $$x=-1$$ ещё раз для кубического множителя:
   $$3(-1)^3+2(-1)^2-3(-1)-2=0.$$
   Значит,
   $$3x^3+2x^2-3x-2=(x+1)(3x^2-x-2).$$
   Далее
   $$3x^2-x-2=(3x+2)(x-1).$$
   Итак,
   $$x=-1,\,-\frac23,\,1.$$

4. $$5x^4+9x^3-2x^2-4x-8=0$$
   Проверим $$x=1$$:
   $$5+9-2-4-8=0.$$
   Тогда
   $$5x^4+9x^3-2x^2-4x-8=(x-1)(5x^3+14x^2+12x+8).$$
   Проверим $$x=-2$$ для кубического множителя:
   $$5(-2)^3+14(-2)^2+12(-2)+8=0.$$
   Значит,
   $$5x^3+14x^2+12x+8=(x+2)(5x^2+4x+4).$$
   У квадратного уравнения
   $$5x^2+4x+4=0$$
   дискриминант
   $$D=4^2-4\cdot 5\cdot 4=16-80=-64<0,$$ поэтому действительных корней нет. Следовательно, $$x=1,\,-2.$$

5. $$2x^4-3x^3-7x^2+6x+8=0$$
   Проверим $$x=-1$$:
   $$2(-1)^4-3(-1)^3-7(-1)^2+6(-1)+8=0.$$
   Тогда
   $$2x^4-3x^3-7x^2+6x+8=(x+1)(2x^3-5x^2-2x+8).$$
   Проверим $$x=2$$:
   $$2\cdot 2^3-5\cdot 2^2-2\cdot 2+8=0.$$
   Значит,
   $$2x^3-5x^2-2x+8=(x-2)(2x^2-x-4).$$
   Решаем квадратное уравнение:
   $$2x^2-x-4=0,$$
   $$D=1+32=33,$$
   $$x=\frac{1\pm \sqrt{33}}{4}.$$
   Итак,
   $$x=-1,\,2,\,\frac{1-\sqrt{33}}{4},\,\frac{1+\sqrt{33}}{4}.$$

6. $$x^5+8x^4+24x^3+35x^2+28x+12=0$$
   Проверим $$x=-2$$:
   $$(-2)^5+8(-2)^4+24(-2)^3+35(-2)^2+28(-2)+12=0.$$
   Тогда
   $$x^5+8x^4+24x^3+35x^2+28x+12=(x+2)(x^4+6x^3+12x^2+11x+6).$$
   Проверим $$x=-3$$ для многочлена четвёртой степени:
   $$(-3)^4+6(-3)^3+12(-3)^2+11(-3)+6=0.$$
   Значит,
   $$x^4+6x^3+12x^2+11x+6=(x+3)(x^3+3x^2+3x+2).$$
   Проверим $$x=-2$$:
   $$(-2)^3+3(-2)^2+3(-2)+2=0.$$
   Тогда
   $$x^3+3x^2+3x+2=(x+2)(x^2+x+1).$$
   У квадратного уравнения
   $$x^2+x+1=0$$
   дискриминант
   $$D=1-4=-3<0,$$ поэтому действительных корней нет. Следовательно, $$x=-2,\,-3.$$

Ответ

1) $$x=-5,\,-3,\,-1$$;
2) $$x=-1,\,-\frac12,\,2$$;
3) $$x=-1,\,-\frac23,\,1$$;
4) $$x=-2,\,1$$;
5) $$x=-1,\,2,\,\frac{1-\sqrt{33}}{4},\,\frac{1+\sqrt{33}}{4}$$;
6) $$x=-3,\,-2$$.