Упр.32.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) A (x)=2x^3-x^2+ax+b, B (x)=x^2-1;
2) A (x)=6x^4-x^3+ax^2+bx+4, B (x)=x^2-4?

1. $$A(x)=2x^3-x^2+ax+b,\quad B(x)=x^2-1.$$

   Чтобы многочлен $$A(x)$$ делился нацело на $$B(x)=(x-1)(x+1),$$ нужно, чтобы $$A(1)=0$$ и $$A(-1)=0.$$

   $$A(1)=2\cdot 1^3-1^2+a\cdot 1+b=1+a+b,$$
   $$A(-1)=2\cdot(-1)^3-(-1)^2+a\cdot(-1)+b=-3-a+b.$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} 1+a+b=0,\\ -3-a+b=0. \end{cases} $$

   $$\begin{cases} a+b=-1,\\ -a+b=3. \end{cases}$$

   Складываем уравнения:

   $$2b=2,\quad b=1.$$

   Тогда

   $$a+b=-1 \Rightarrow a+1=-1 \Rightarrow a=-2.$$

2. $$A(x)=6x^4-x^3+ax^2+bx+4,\quad B(x)=x^2-4.$$

   Так как $$x^2-4=(x-2)(x+2),$$ то должно выполняться $$A(2)=0$$ и $$A(-2)=0.$$

   $$A(2)=6\cdot 2^4-2^3+a\cdot 2^2+b\cdot 2+4=96-8+4a+2b+4=92+4a+2b,$$

   $$A(-2)=6\cdot(-2)^4-(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+4=96+8+4a-2b+4=108+4a-2b.$$

   Получаем систему:

   $$ \begin{cases} 92+4a+2b=0,\\ 108+4a-2b=0. \end{cases} $$

   $$\begin{cases} 2a+b=-46,\\ 2a-b=-54. \end{cases}$$

   Складываем уравнения:

   $$4a=-100,\quad a=-25.$$

   Тогда

   $$2a+b=-46 \Rightarrow -50+b=-46 \Rightarrow b=4.$$

Ответ

1) $$a=-2,\ b=1.$$

2) $$a=-25,\ b=4.$$