Упр.32.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

1) A (x)=x^4-8x^3+15x^2+4x-20, B (x)=x^2-x-2;
2) A (x)=x^4-9x^3+9x^2+41x-42, B (x)=x^2+x-2;
3) A (x)=x^5-9x^4+26x^3-18x^2-27x+27, B (x)=x^2-4x+3.

Подробный ответ

$$B(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1).$$
Найдём значения многочлена $$A(x)=x^4-8x^3+15x^2+4x-20$$ в корнях многочлена $$B(x)$$:
$$ A(-1)=(-1)^4-8(-1)^3+15(-1)^2+4(-1)-20=1+8+15-4-20=0, $$
$$ A(2)=2^4-8\cdot 2^3+15\cdot 2^2+4\cdot 2-20=16-64+60+8-20=0. $$
Значит, $$x=-1$$ и $$x=2$$ — корни многочлена $$A(x)$$. Следовательно, $$A(x)$$ делится нацело на $$B(x)$$.
$$B(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$
Найдём значения многочлена $$A(x)=x^4-9x^3+9x^2+41x-42$$ в корнях многочлена $$B(x)$$:
$$ A(-2)=(-2)^4-9(-2)^3+9(-2)^2+41(-2)-42=16+72+36-82-42=0, $$
$$ A(1)=1^4-9\cdot 1^3+9\cdot 1^2+41\cdot 1-42=1-9+9+41-42=0. $$
Значит, $$x=-2$$ и $$x=1$$ — корни многочлена $$A(x)$$. Следовательно, $$A(x)$$ делится нацело на $$B(x)$$.
$$B(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$
Найдём значения многочлена $$A(x)=x^5-9x^4+26x^3-18x^2-27x+27$$ в корнях многочлена $$B(x)$$:
$$ A(1)=1^5-9\cdot 1^4+26\cdot 1^3-18\cdot 1^2-27\cdot 1+27=1-9+26-18-27+27=0, $$
$$ A(3)=3^5-9\cdot 3^4+26\cdot 3^3-18\cdot 3^2-27\cdot 3+27 =243-729+702-162-81+27=0. $$
Значит, $$x=1$$ и $$x=3$$ — корни многочлена $$A(x)$$. Следовательно, $$A(x)$$ делится нацело на $$B(x)$$.