Упр.32.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 32.5. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению (x^2+x-1)^2n+(x^2-x+1)^2n-2, где n?N, делится нацело на многочлен x^2 -x.

Подробный ответ

Пусть

$$A(x)=(x^2+x-1)^{2n}+(x^2-x+1)^{2n}-2.$$

Чтобы доказать делимость многочлена $$A(x)$$ на $$x^2-x=x(x-1),$$ достаточно показать, что числа $$0$$ и $$1$$ являются его корнями.

Найдём значения многочлена при этих значениях $$x$$:

$$A(0)=(0^2+0-1)^{2n}+(0^2-0+1)^{2n}-2=(-1)^{2n}+1^{2n}-2=1+1-2=0.$$

Значит, $$x=0$$ — корень многочлена $$A(x).$$

Теперь подставим $$x=1$$:

$$A(1)=(1^2+1-1)^{2n}+(1^2-1+1)^{2n}-2=1^{2n}+1^{2n}-2=1+1-2=0.$$

Значит, $$x=1$$ — тоже корень многочлена $$A(x).$$

Следовательно, многочлен $$A(x)$$ делится на $$x(x-1)=x^2-x.$$