Упр.32.4 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 32.4. Докажите, что многочлен, тождественно равный выражению (x+1)^2n-x^2n-2x-1, где n?N, делится нацело на многочлен, тождественно равный выражению x(x+1)(2x+1).

Подробный ответ

Пусть $$A(x)=(x+1)^{2n}-x^{2n}-2x-1.$$

Проверим, что многочлен $$A(x)$$ обращается в нуль при значениях $$x=0,$$ $$x=-1$$ и $$x=-\frac12.$$

Имеем:

$$A(0)=(0+1)^{2n}-0^{2n}-2\cdot 0-1=1-0-0-1=0,$$
$$A(-1)=(-1+1)^{2n}-(-1)^{2n}-2\cdot(-1)-1=0-1+2-1=0,$$
$$A\!\left(-\frac12\right)=\left(-\frac12+1\right)^{2n}-\left(-\frac12\right)^{2n}-2\cdot\left(-\frac12\right)-1$$
$$=\left(\frac12\right)^{2n}-\left(\frac12\right)^{2n}+1-1=0.$$

Значит, числа $$0,$$ $$-1$$ и $$-\frac12$$ являются корнями многочлена $$A(x).$$ Тогда по теореме Безу многочлен $$A(x)$$ делится нацело на произведение соответствующих линейных множителей:

$$x(x+1)\left(x+\frac12\right).$$

Умножим последний множитель на $$2$$ и учтём, что делимость на $$x\left(x+1\right)\left(x+\frac12\right)$$ равносильна делимости на $$x(x+1)(2x+1).$$

Следовательно, многочлен $$A(x)$$ делится нацело на $$x(x+1)(2x+1).$$