Упр.32.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

При каких значениях параметра $$a$$ сумма корней уравнения $$x^2-(a^2+2a)x-a=0$$ равна $$3$$?

По теореме Виета для уравнения

$$x^2-(a^2+2a)x-a=0$$

сумма корней равна

$$x_1+x_2=a^2+2a.$$

По условию эта сумма равна $$3$$, значит

$$a^2+2a=3.$$

Решим уравнение:

$$a^2+2a-3=0$$

$$\left(a+3\right)\left(a-1\right)=0$$

$$a=-3 \quad \text{или} \quad a=1.$$

Проверим оба значения.

1) При $$a=-3$$ получаем:

$$x^2-3x+3=0.$$

$$D=9-12=-3<0,$$

значит, действительных корней нет.

2) При $$a=1$$ получаем:

$$x^2-3x-1=0.$$

У этого уравнения есть два корня, и их сумма равна $$3$$.

Ответ

$$a=1.$$