Упр.32.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 32.17. Степень многочлена P(x) равна 100. Известно, что P(-1)=P(1), P(-2)=P(2),…, P(-50)=P(50). Верно ли, что для любого x?R выполняется равенство P(-x)=P(x)?

Подробный ответ

Рассмотрим многочлен $$Q(x)=P(x)-P(-x).$$ Его степень не превосходит $$99,$$ так как степень $$P(x)$$ равна $$100.$$

По условию:

$$P(-1)=P(1),\; P(-2)=P(2),\; \ldots,\; P(-50)=P(50).$$

Значит,

$$Q(1)=Q(2)=\cdots=Q(50)=0,$$
$$Q(-1)=Q(-2)=\cdots=Q(-50)=0.$$

Итак, многочлен $$Q(x)$$ имеет не менее $$100$$ корней, а его степень не больше $$99.$$ Следовательно, $$Q(x)$$ — нулевой многочлен.

Тогда для любого $$x \in \mathbb{R}$$ выполняется

$$P(x)-P(-x)=0,$$

то есть

$$P(-x)=P(x).$$