Упр.32.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   
   1) $$\frac{a(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x$$;
   
   2) $$\frac{a^2(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^2(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+\frac{c^2(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2$$.

Обозначим левую часть первого тождества через $$f(x)$$ и перенесём $$x$$ в левую часть:

$$f(x)=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}-x.$$

Очевидно, что $$a\ne b$$, $$a\ne c$$, $$b\ne c$$.

Функция $$f(x)$$ — многочлен степени не выше 2. Проверим его значения в точках $$x=a$$, $$x=b$$, $$x=c$$:

$$f(a)=a\frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)}-a= a- a=0,$$

$$f(b)=a\frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)}-b= b-b=0,$$

$$f(c)=a\frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(c-c)(c-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)}-c= c-c=0.$$

Значит, многочлен $$f(x)$$ степени не выше 2 имеет три различных корня $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Следовательно, $$f(x)\equiv 0$$, то есть

$$a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x.$$

Аналогично для второго тождества. Обозначим левую часть минус $$x^2$$ через $$g(x)$$:

$$g(x)=a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}-x^2.$$

Это также многочлен степени не выше 2. Найдём его значения в точках $$a$$, $$b$$, $$c$$:

$$g(a)=a^2-a^2=0,\qquad g(b)=b^2-b^2=0,\qquad g(c)=c^2-c^2=0.$$

Следовательно, $$g(x)\equiv 0$$, и потому

$$a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2.$$

Ответ

1) $$a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x$$

2) $$a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2$$