Упр.32.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) a (x-b)(x-c)/(a-b)(a-c) +b (x-c)(x-a)/(b-c)(b-a) +c (x-a)(x-b)/(c-a)(c-b) =x;
2) a^2 (x-b)(x-c)/(a-b)(a-c) +b^2 (x-c)(x-a)/(b-c)(b-a) +c^2 (x-a)(x-b)/(c-a)(c-b) =x^2.

Обозначим левую часть первого тождества через $$f(x)$$ и перенесём $$x$$ в левую часть:

$$ f(x)=a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}-x. $$

Очевидно, что $$a\ne b$$, $$a\ne c$$, $$b\ne c$$.

Функция $$f(x)$$ — многочлен степени не выше 2. Проверим его значения в точках $$x=a$$, $$x=b$$, $$x=c$$:

$$ f(a)=a\frac{(a-b)(a-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(a-c)(a-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(a-a)(a-b)}{(c-a)(c-b)}-a= a- a=0, $$

$$ f(b)=a\frac{(b-b)(b-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(b-c)(b-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(b-a)(b-b)}{(c-a)(c-b)}-b= b-b=0, $$

$$ f(c)=a\frac{(c-b)(c-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(c-c)(c-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(c-a)(c-b)}{(c-a)(c-b)}-c= c-c=0. $$

Значит, многочлен $$f(x)$$ степени не выше 2 имеет три различных корня $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Следовательно, $$f(x)\equiv 0$$, то есть

$$ a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x. $$

Аналогично для второго тождества. Обозначим левую часть минус $$x^2$$ через $$g(x)$$:

$$ g(x)=a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}-x^2. $$

Это также многочлен степени не выше 2. Найдём его значения в точках $$a$$, $$b$$, $$c$$:

$$ g(a)=a^2-a^2=0,\qquad g(b)=b^2-b^2=0,\qquad g(c)=c^2-c^2=0. $$

Следовательно, $$g(x)\equiv 0$$, и потому

$$ a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2. $$

Ответ

1) $$a\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x$$

2) $$a^2\frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)}+b^2\frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)}+c^2\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)}=x^2$$