Упр.32.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) выражение (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc делится нацело на выражение a+b;
2) выражение x^3 +y^3 +z^3 -3xyz делится нацело на выражение x+y+z.

1) Обозначим

$$A=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc.$$

Проверим, что при $$a+b=0$$ выражение обращается в нуль. Тогда $$a=-b$$, и

$$ A=(-b+b+c)\bigl((-b)b+bc+c(-b)\bigr)-(-b)bc. $$

Упростим:

$$ A=c(-b^2+bc-bc)+b^2c=c(-b^2)+b^2c=0. $$

Значит, по теореме Безу выражение $$A$$ делится нацело на $$a+b$$.

2) Обозначим

$$A=x^3+y^3+z^3-3xyz.$$

Если $$x+y+z=0$$, то $$x=-y-z$$. Подставим:

$$ A=(-y-z)^3+y^3+z^3-3yz(-y-z). $$

Раскроем скобки:

$$ A=-y^3-3y^2z-3yz^2-z^3+y^3+z^3+3y^2z+3yz^2=0. $$

Следовательно, по теореме Безу выражение $$A$$ делится нацело на $$x+y+z$$.

Ответ

1) $$\,(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$$ делится нацело на $$a+b$$.

2) $$\,x^3+y^3+z^3-3xyz$$ делится нацело на $$x+y+z$$.