Упр.32.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что: 1) выражение $$(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$$ делится нацело на выражение $$a+b$$; 2) выражение $$x^3+y^3+z^3-3xyz$$ делится нацело на выражение $$x+y+z$$.

1) Обозначим

$$A=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc.$$

Проверим, что при $$a+b=0$$ выражение обращается в нуль. Тогда $$a=-b$$, и

$$A=(-b+b+c)\bigl((-b)b+bc+c(-b)\bigr)-(-b)bc.$$

Упростим:

$$A=c(-b^2+bc-bc)+b^2c=c(-b^2)+b^2c=0.$$

Значит, по теореме Безу выражение $$A$$ делится нацело на $$a+b$$.

2) Обозначим

$$A=x^3+y^3+z^3-3xyz.$$

Если $$x+y+z=0$$, то $$x=-y-z$$. Подставим:

$$A=(-y-z)^3+y^3+z^3-3yz(-y-z).$$

Раскроем скобки:

$$A=-y^3-3y^2z-3yz^2-z^3+y^3+z^3+3y^2z+3yz^2=0.$$

Следовательно, по теореме Безу выражение $$A$$ делится нацело на $$x+y+z$$.

Ответ

1) $$\,(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$$ делится нацело на $$a+b$$.

2) $$\,x^3+y^3+z^3-3xyz$$ делится нацело на $$x+y+z$$.