Упр.32.14 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 32.14. Докажите, что выражение a^3 (b-c)+b^3 (c-a)+c^3 (a-b) делится нацело на выражение (a-b)(b-c)(c-a).

Подробный ответ

Обозначим

$$A=a^3(b-c)+b^3(c-a)+c^3(a-b).$$

Покажем, что $A$ делится на каждый из множителей $a-b$, $b-c$ и $c-a$.

Если $a=b$, то

$$ A=b^3(b-c)+b^3(c-b)+c^3(b-b)=b^3(b-c)-b^3(b-c)+0=0. $$

Если $b=c$, то

$$ A=a^3(c-c)+c^3(c-a)+c^3(a-c)=0+c^3(c-a)-c^3(c-a)=0. $$

Если $c=a$, то

$$ A=a^3(b-a)+b^3(a-a)+a^3(a-b)=a^3(b-a)-a^3(b-a)=0. $$

Значит, при $a=b$, $b=c$ и $c=a$ выражение $A$ обращается в нуль, следовательно, оно делится на каждый из множителей $a-b$, $b-c$ и $c-a$.

Так как $A$ — многочлен третьей степени, а произведение $(a-b)(b-c)(c-a)$ тоже имеет степень $3$, то по теореме Безу (или по свойству делимости многочленов) выражение $A$ делится нацело на

$$ (a-b)(b-c)(c-a). $$