Упр.32.13 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 32.13. Остатки от деления многочлена A (x) на двучлены x-3 и x-1 соответственно равны 6 и 4. Найдите остаток от деления многочлена A (x) на многочлен x^2 -4x+3.

Подробный ответ

Так как $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$$ то остаток при делении многочлена $$A(x)$$ на этот двучлен должен иметь степень меньше 2, то есть иметь вид $$ax+b.$$

Запишем:

$$A(x)=(x^2-4x+3)Q(x)+ax+b.$$

Подставим значения $$x=3$$ и $$x=1$$:

$$A(3)=3a+b,$$

$$A(1)=a+b.$$

По условию остатки от деления $$A(x)$$ на $$x-3$$ и $$x-1$$ равны соответственно 6 и 4, значит:

$$A(3)=6,\quad A(1)=4.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 3a+b=6,\\ a+b=4. \end{cases} $$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$2a=2,$$

откуда $$a=1.$$ Тогда