Упр.32.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 32.12. При каких знчениях параметров a и b многочлен x^3 +ax^2 +bx+ab при делении на x-2 дает в остатке 15, а при делении на x+1 дает в остатке 0?

Пусть $$A(x)=x^3+ax^2+bx+ab.$$

По теореме об остатке:

$$A(2)=15,$$
$$A(-1)=0.$$

Составим уравнения:

$$2^3+a\cdot 2^2+b\cdot 2+ab=15,$$
$$(-1)^3+a\cdot (-1)^2+b\cdot (-1)+ab=0.$$

Получаем систему:

$$ \begin{cases} 8+4a+2b+ab=15,\\ -1+a-b+ab=0. \end{cases} $$

Упростим:

$$ \begin{cases} 4a+2b+ab=7,\\ a-b+ab=1. \end{cases} $$

Вычтем второе уравнение из первого:

$$3a+3b=6,$$
$$a+b=2.$$

Тогда $$a=2-b.$$ Подставим во второе уравнение:

$$2-b-b+(2-b)b=1,$$
$$2-2b+2b-b^2=1,$$
$$b^2=1.$$

Следовательно, $$b=1$$ или $$b=-1.$$

Если $$b=1,$$ то $$a=2-1=1.$$

Если $$b=-1,$$ то $$a=2-(-1)=3.$$

Ответ

$$a=1,\ b=1$$ или $$a=3,\ b=-1.$$