Упр.32.11 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметров $$a$$, $$b$$ и $$c$$ многочлен $$x^3+ax^2+bx+c$$ делится нацело на двучлены $$x-1$$ и $$x+2$$, а при делении на двучлен $$x+1$$ даёт в остатке 10?

Пусть $$A(x)=x^3+ax^2+bx+c.$$

Так как многочлен делится нацело на $$x-1$$ и $$x+2$$, то

$$A(1)=1+a+b+c=0,$$

$$A(-2)=-8+4a-2b+c=0.$$

При делении на $$x+1$$ остаток равен $$10$$, значит

$$A(-1)=-1+a-b+c=10.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} -8+4a-2b+c=0,\\ 1+a+b+c=0,\\ -1+a-b+c=10. \end{cases}$$

Упростим её:

$$\begin{cases} 4a-2b+c=8,\\ a+b+c=-1,\\ a-b+c=11. \end{cases}$$

Сложим второе и третье уравнения:

$$2a+2c=10,$$

откуда

$$a+c=5.$$

Вычтем второе уравнение из третьего:

$$2b=-12,$$

значит

$$b=-6.$$

Подставим $$b=-6$$ во второе уравнение:

$$a-6+c=-1,$$

$$a+c=5,$$

что уже выполнено. Теперь из $$a+c=5$$ и первого уравнения:

$$4a-2(-6)+c=8,$$

$$4a+c=-4.$$

Вычтем из этого равенства $$a+c=5$$:

$$3a=-9,$$

$$a=-3.$$

Тогда

$$c=5-a=8.$$

Ответ

$$a=-3,\quad b=-6,\quad c=8.$$