Упр.32.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. При каких значениях параметров $$a$$ и $$b$$ многочлен $$A(x)=3x^4+5x^3+ax^2+bx+10$$ делится нацело на многочлен $$B(x)=x^2+x-2$$?

Разложим делитель на множители:

$$B(x)=x^2+x-2=(x+2)(x-1).$$

Если многочлен $$A(x)=3x^4+5x^3+ax^2+bx+10$$ делится нацело на $$B(x)$$, то по теореме Безу:

$$A(-2)=0,\quad A(1)=0.$$

Найдём значения многочлена:

$$A(-2)=3\cdot(-2)^4+5\cdot(-2)^3+a\cdot(-2)^2+b\cdot(-2)+10 =48-40+4a-2b+10=18+4a-2b.$$

$$A(1)=3\cdot1^4+5\cdot1^3+a\cdot1^2+b\cdot1+10 =3+5+a+b+10=18+a+b.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 18+4a-2b=0,\\ 18+a+b=0. \end{cases}$$

Упростим её:

$$\begin{cases} 2a-b=-9,\\ a+b=-18. \end{cases}$$

Сложим уравнения:

$$3a=-27,\quad a=-9.$$

Тогда

$$-9+b=-18,\quad b=-9.$$

Ответ

$$a=-9,\quad b=-9.$$