Упр.31.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) (2x^4+x^3-5x^2-x+1)/(x^2-x); 2) (5x^4-3x^5+3x-1)/(x+1-x^2 ).

1) Выполним деление многочлена на многочлен:

$$ \frac{2x^4+x^3-5x^2-x+1}{x^2-x} $$

Подберём частное:

$$ (x^2-x)(2x^2+3x-2)=2x^4+x^3-5x^2+2x $$

Тогда

$$ 2x^4+x^3-5x^2-x+1=(x^2-x)(2x^2+3x-2)-(3x-1) $$

Следовательно,

$$ \frac{2x^4+x^3-5x^2-x+1}{x^2-x}=2x^2+3x-2-\frac{3x-1}{x^2-x} $$

2) Аналогично:

$$ \frac{5x^4-3x^5+3x-1}{x+1-x^2} $$

Удобно записать числитель в порядке убывания степеней:

$$ \frac{-3x^5+5x^4+3x-1}{x+1-x^2} $$

Подберём частное:

$$ (x+1-x^2)(3x^3-2x^2+x-1)=-3x^5+5x^4+0x^3+0x^2+0x-1 $$

Остаётся остаток $$3x$$, значит

$$ \frac{5x^4-3x^5+3x-1}{x+1-x^2}=3x^3-2x^2+x-1+\frac{3x}{x+1-x^2} $$

Ответ

$$ 1)\; 2x^2+3x-2-\frac{3x-1}{x^2-x}; \qquad 2)\; 3x^3-2x^2+x-1+\frac{3x}{x+1-x^2}. $$