Упр.31.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Выделите целую часть из рациональной дроби:

1. $$\frac{2x^4+x^3-5x^2-x+1}{x^2-x}$$;
2. $$\frac{5x^4-3x^5+3x-1}{x+1-x^2}$$.

1) Выполним деление многочлена на многочлен:

$$\frac{2x^4+x^3-5x^2-x+1}{x^2-x}$$

Подберём частное:

$$(x^2-x)(2x^2+3x-2)=2x^4+x^3-5x^2+2x$$

Тогда

$$2x^4+x^3-5x^2-x+1=(x^2-x)(2x^2+3x-2)-(3x-1)$$

Следовательно,

$$\frac{2x^4+x^3-5x^2-x+1}{x^2-x}=2x^2+3x-2-\frac{3x-1}{x^2-x}$$

2) Аналогично:

$$\frac{5x^4-3x^5+3x-1}{x+1-x^2}$$

Удобно записать числитель в порядке убывания степеней:

$$\frac{-3x^5+5x^4+3x-1}{x+1-x^2}$$

Подберём частное:

$$(x+1-x^2)(3x^3-2x^2+x-1)=-3x^5+5x^4+0x^3+0x^2+0x-1$$

Остаётся остаток $$3x$$, значит

$$\frac{5x^4-3x^5+3x-1}{x+1-x^2}=3x^3-2x^2+x-1+\frac{3x}{x+1-x^2}$$

Ответ

$$1)\; 2x^2+3x-2-\frac{3x-1}{x^2-x}; \qquad 2)\; 3x^3-2x^2+x-1+\frac{3x}{x+1-x^2}.$$