Упр.31.6 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. 31.6. Докажите, что $$x^n-a^n \mid x^k-a^k$$, если $$n \mid k$$, $$n\in\mathbb{N}$$, $$k\in\mathbb{N}$$.

Так как $$n:k,$$ то существует $$m \in \mathbb{N}$$ такое, что $$n=mk.$$ Тогда

$$x^n-a^n=x^{mk}-a^{mk}.$$

Разложим разность степеней на множители:

$$x^{mk}-a^{mk}=(x^k-a^k)\left(x^{k(m-1)}+x^{k(m-2)}a^k+\dots+x^ka^{k(m-2)}+a^{k(m-1)}\right).$$

Следовательно, выражение $$x^k-a^k$$ является множителем выражения $$x^n-a^n$$, то есть

$$\left(x^n-a^n\right):\left(x^k-a^k\right).$$

Ответ

$$\left(x^n-a^n\right):\left(x^k-a^k\right).$$