Упр.31.5 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что многочлен $$A(x)$$ не делится нацело на многочлен $$B(x)$$:
   1) $$A(x)=x^2+1$$, $$B(x)=x-1$$;
   2) $$A(x)=x^3+x-1$$, $$B(x)=x+1$$;
   3) $$A(x)=2x^4-3x^3-x+1$$, $$B(x)=x^2-3x+2$$.

1. $$A(x)=x^2+1,\quad B(x)=x-1.$$

   Выполним деление многочлена $$A(x)$$ на $$B(x)$$:

   $$x^2+1=(x-1)(x+1)+2$$

   Остаток равен $$2$$, значит, $$A(x)$$ не делится нацело на $$B(x)$$.

2. $$A(x)=x^3+x-1,\quad B(x)=x+1.$$

   Выполним деление многочлена $$A(x)$$ на $$B(x)$$:

   $$x^3+x-1=(x+1)(x^2-x+2)-3$$

   Остаток равен $$-3$$, значит, $$A(x)$$ не делится нацело на $$B(x)$$.

3. $$A(x)=2x^4-3x^3-x+1,\quad B(x)=x^2-3x+2.$$

   Выполним деление многочлена $$A(x)$$ на $$B(x)$$:

   $$2x^4-3x^3-x+1=(x^2-3x+2)(2x^2+3x+5)+8x-9$$

   Остаток равен $$8x-9$$, значит, $$A(x)$$ не делится нацело на $$B(x)$$.

Ответ

Во всех трёх случаях многочлен $$A(x)$$ не делится нацело на многочлен $$B(x)$$.