Упр.31.3 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1) A (x)=2x^5+5x^3+6x-7, B (x)=x^3+x;
2) A (x)=x^4+x+1, B (x)=x^2+x+1;
3) A (x)=x^4+x^2+1, B (x)=x+5.

1. Разделим многочлен $$A(x)=2x^5+5x^3+6x-7$$ на $$B(x)=x^3+x$$.

   Запишем деление с пропущенными степенями:

   $$2x^5+0x^4+5x^3+0x^2+6x-7$$

   Получаем:

   $$2x^5: x^3=2x^2$$

   $$2x^2(x^3+x)=2x^5+2x^3$$

   $$\left(2x^5+5x^3\right)-\left(2x^5+2x^3\right)=3x^3$$

   $$3x^3: x^3=3$$

   $$3(x^3+x)=3x^3+3x$$

   $$\left(3x^3+6x\right)-\left(3x^3+3x\right)=3x$$

   Остаток: $$3x-7$$.

   Неполное частное: $$2x^2+3$$.

   Значит,

   $$2x^5+5x^3+6x-7=(x^3+x)(2x^2+3)+3x-7.$$

2. Разделим многочлен $$A(x)=x^4+x+1$$ на $$B(x)=x^2+x+1$$.

   Запишем деление с пропущенными степенями:

   $$x^4+0x^3+0x^2+x+1$$

   $$x^4: x^2=x^2$$

   $$x^2(x^2+x+1)=x^4+x^3+x^2$$

   $$\left(x^4\right)-\left(x^4+x^3+x^2\right)=-x^3-x^2+x+1$$

   $$-x^3: x^2=-x$$

   $$-x(x^2+x+1)=-x^3-x^2-x$$

   $$\left(-x^3-x^2+x+1\right)-\left(-x^3-x^2-x\right)=2x+1$$

   Остаток: $$2x+1$$.

   Неполное частное: $$x^2-x$$.

   Значит,

   $$x^4+x+1=(x^2+x+1)(x^2-x)+2x+1.$$

3. Разделим многочлен $$A(x)=x^4+x^2+1$$ на $$B(x)=x+5$$.

   Запишем деление с пропущенными степенями:

   $$x^4+0x^3+x^2+0x+1$$

   $$x^4: x=x^3$$

   $$x^3(x+5)=x^4+5x^3$$

   $$\left(x^4\right)-\left(x^4+5x^3\right)=-5x^3+x^2+1$$

   $$-5x^3: x=-5x^2$$

   $$-5x^2(x+5)=-5x^3-25x^2$$

   $$\left(-5x^3+x^2\right)-\left(-5x^3-25x^2\right)=26x^2$$

   $$26x^2: x=26x$$

   $$26x(x+5)=26x^2+130x$$

   $$\left(26x^2+0x\right)-\left(26x^2+130x\right)=-130x+1$$

   $$-130x: x=-130$$

   $$-130(x+5)=-130x-650$$

   $$\left(-130x+1\right)-\left(-130x-650\right)=651$$

   Остаток: $$651$$.

   Неполное частное: $$x^3-5x^2+26x-130$$.

   Значит,

   $$x^4+x^2+1=(x+5)(x^3-5x^2+26x-130)+651.$$

Ответ

1) $$2x^2+3$$, остаток $$3x-7$$;

2) $$x^2-x$$, остаток $$2x+1$$;

3) $$x^3-5x^2+26x-130$$, остаток $$651$$.