Упр.31.2 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что многочлен $$A(x)$$ делится нацело на многочлен $$B(x)$$:
   1) $$A(x)=x^3-1,\quad B(x)=x^2+x+1$$;
   2) $$A(x)=4x^3-8x^2+5x-1,\quad B(x)=2x^2-3x+1$$;
   3) $$A(x)=2x^4-x^3+2x^2+1,\quad B(x)=x^2-x+1$$.

1. $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$

   Следовательно,

   $$A(x)=B(x)\cdot Q(x), \quad Q(x)=x-1.$$

   Значит, многочлен $$x^3-1$$ делится нацело на $$x^2+x+1$$.

2. Преобразуем многочлен:

   $$4x^3-8x^2+5x-1 =4x^3-6x^2+2x-2x^2+3x-1$$

   $$=2x(2x^2-3x+1)-(2x^2-3x+1)$$

   $$=(2x^2-3x+1)(2x-1).$$

   Следовательно,

   $$A(x)=B(x)\cdot Q(x), \quad Q(x)=2x-1.$$

   Значит, многочлен $$4x^3-8x^2+5x-1$$ делится нацело на $$2x^2-3x+1$$.

3. Преобразуем многочлен:

   $$2x^4-x^3+2x^2+1 =2x^4-2x^3+2x^2+x^3+1$$

   $$=2x^2(x^2-x+1)+(x^3+1)$$

   $$=2x^2(x^2-x+1)+(x+1)(x^2-x+1)$$

   $$=(x^2-x+1)(2x^2+x+1).$$

   Следовательно,

   $$A(x)=B(x)\cdot Q(x), \quad Q(x)=2x^2+x+1.$$

   Значит, многочлен $$2x^4-x^3+2x^2+1$$ делится нацело на $$x^2-x+1$$.

Ответ

1) $$A(x)=(x^2+x+1)(x-1)$$; 2) $$A(x)=(2x^2-3x+1)(2x-1)$$; 3) $$A(x)=(x^2-x+1)(2x^2+x+1)$$.