Упр.31.1 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что многочлен $$A(x)$$ делится нацело на многочлен $$B(x)$$: 1) $$A(x)=x^2-7x+6$$, $$B(x)=x-6$$; 2) $$A(x)=x^4-1$$, $$B(x)=x^3+x^2+x+1$$; 3) $$A(x)=3x^4-7x^3+2x^2+3x-1$$, $$B(x)=x^3-2x^2+1$$.

1. $$A(x)=x^2-7x+6=(x-6)(x-1).$$
   Тогда
   $$A(x)=B(x)\cdot Q(x), \quad Q(x)=x-1.$$
   Следовательно, многочлен $$A(x)$$ делится нацело на многочлен $$B(x)=x-6$$.

2. $$A(x)=x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1).$$
   Также
   $$B(x)=x^3+x^2+x+1=x^2(x+1)+(x+1)=(x+1)(x^2+1).$$
   Значит,
   $$A(x)=B(x)\cdot Q(x), \quad Q(x)=x-1.$$
   Следовательно, $$A(x)$$ делится нацело на $$B(x)$$.

3. $$A(x)=3x^4-7x^3+2x^2+3x-1.$$
   Преобразуем:
   $$3x^4-7x^3+2x^2+3x-1 =3x(x^3-2x^2+1)-(x^3-2x^2+1)$$
   $$=(x^3-2x^2+1)(3x-1).$$
   Значит,
   $$A(x)=B(x)\cdot Q(x), \quad Q(x)=3x-1.$$
   Следовательно, $$A(x)$$ делится нацело на $$B(x)=x^3-2x^2+1$$.

Ответ

Во всех трёх случаях многочлен $$A(x)$$ делится нацело на многочлен $$B(x)$$.