Упр.30.9 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.9. Докажите, что каждое простое число p (p > 3) можно записать в виде 6k+1 или 6k-1,k?N.

При делении любого натурального числа на $$6$$ возможны остатки $$0,1,2,3,4,5$$. Значит, любое простое число $$p>3$$ можно представить в одном из видов:

$$p=6k,\quad p=6k+1,\quad p=6k+2,\quad p=6k+3,\quad p=6k+4,\quad p=6k+5,$$

где $$k\in \mathbb{N}$$.

Но числа вида $$6k$$, $$6k+2$$, $$6k+4$$ чётные, а значит, при $$p>2$$ не могут быть простыми. Число $$6k+3$$ делится на $$3$$, поэтому при $$p>3$$ оно тоже не может быть простым.

Остаются только случаи:

$$p=6k+1 \quad \text{или} \quad p=6k+5.$$

Так как $$6k+5=6(k+1)-1,$$ то это можно записать в виде

$$p=6k+1 \quad \text{или} \quad p=6k-1.$$

Следовательно, каждое простое число $$p>3$$ можно записать в виде $$6k+1$$ или $$6k-1$$.

Ответ

$$p=6k+1$$ или $$p=6k-1,\quad k\in\mathbb{N}.$$