Упр.30.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.8. Докажите, что остаток при делении простого числа на 30 равен 1 или простому числу.

При делении на $30$ возможны остатки от $0$ до $29$.

Пусть простое число $n$ не равно $2$, тогда оно нечётное, значит, остаток при делении на $30$ тоже должен быть нечётным.

Кроме того, этот остаток не может делиться на $3$, так как тогда число $n$ делилось бы на $3$:

$$n=30a+3b=3(10a+b),$$

то есть $n$ кратно $3$.

Аналогично остаток не может делиться на $5$, потому что тогда

$$n=30a+5b=5(6a+b),$$

то есть $n$ кратно $5$.

Значит, среди остатков при делении на $30$ для простого числа остаются только нечётные числа, не кратные $3$ и $5$:

$$1,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29.$$

Все они, кроме $1$, являются простыми числами.

Следовательно, остаток при делении простого числа на $30$ равен $1$ или простому числу.

Ответ

$$1,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29.$$