Упр.30.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Докажите, что остаток при делении простого числа на $$30$$ равен $$1$$ или простому числу.

При делении на $$30$$ возможны остатки от $$0$$ до $$29$$.

Пусть простое число $$n$$ не равно $$2$$, тогда оно нечётное, значит, остаток при делении на $$30$$ тоже должен быть нечётным.

Кроме того, этот остаток не может делиться на $$3$$, так как тогда число $$n$$ делилось бы на $$3$$:

$$n=30a+3b=3(10a+b),$$

то есть $$n$$ кратно $$3$$.

Аналогично остаток не может делиться на $$5$$, потому что тогда

$$n=30a+5b=5(6a+b),$$

то есть $$n$$ кратно $$5$$.

Значит, среди остатков при делении на $$30$$ для простого числа остаются только нечётные числа, не кратные $$3$$ и $$5$$:

$$1,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29.$$

Все они, кроме $$1$$, являются простыми числами.

Следовательно, остаток при делении простого числа на $$30$$ равен $$1$$ или простому числу.

Ответ

$$1,\,7,\,11,\,13,\,17,\,19,\,23,\,29.$$