Упр.30.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 8 класс, Вентана-Граф: 30.43. Докажите, что значение выражения 42^47 +47^42 является составным числом.

Рассмотрим число $$42^{47}+47^{42}.$$

Представим его так:

$$42^{47}+47^{42}=(42^{47}+1)+(47^{42}-1).$$

Докажем, что каждое из слагаемых делится на $$43$$.

Так как $$42\equiv -1 \pmod{43},$$ то

$$42^{47}\equiv (-1)^{47}=-1 \pmod{43},$$

значит,

$$42^{47}+1\equiv 0 \pmod{43}.$$

Следовательно, $$42^{47}+1$$ делится на $$43$$.

Кроме того, $$47\equiv 4 \pmod{43},$$ поэтому

$$47^{42}\equiv 4^{42}\pmod{43}.$$

По малой теореме Ферма, так как $$43$$ — простое число и $$4$$ не делится на $$43$$, имеем

$$4^{42}\equiv 1 \pmod{43}.$$

Значит,

$$47^{42}-1\equiv 0 \pmod{43},$$

то есть $$47^{42}-1$$ тоже делится на $$43$$.

Тогда и их сумма делится на $$43$$:

$$42^{47}+47^{42}=(42^{47}+1)+(47^{42}-1)\equiv 0 \pmod{43}.$$

Следовательно, число $$42^{47}+47^{42}$$ делится на $$43$$. Оно больше $$43$$, значит, является составным.

Ответ

$$42^{47}+47^{42}$$ — составное число.